Задача №15241

Решите неравенство

$$1+\frac{5}{{\log }_{4}x-3}+\frac{6}{{\log }_4^{2}x-{\log }_4(64x^6)+12}⩾0.$$

Введём обозначение $t={\log }_{4}x\text{.}$ Тогда ${\log }_4(64x^6)={\log }_{4}64+{\log }_4{x}^6=3+6t\text{.}$ Подставим в неравенство:

$$1+\frac{5}{t-3}+\frac{6}{t^2-(3+6t)+12}⩾0.$$

Упростим знаменатель второй дроби:

$$t^2-3-6t+12=t^2-6t+9=(t-3{)}^2.$$

Получаем:

$$1+\frac{5}{t-3}+\frac{6}{(t-3{)}^2}⩾0.$$

Сделаем замену $u=\frac{1}{t-3}\text{,}$ тогда неравенство примет вид:

$$1+5u+6u^2⩾0\iff 6u^2+5u+1⩾0.$$

Дискриминант $D=25-24=1\text{,}$ корни $u_1=-\frac{1}{2}\text{,}$ $u_2=-\frac{1}{3}\text{.}$ Так как коэффициент при $u^2$ положителен, неравенство выполняется при $u⩽-\frac{1}{2}$ или $u⩾-\frac{1}{3}\text{.}$ Возвращаемся к $t\text{:}$

1. $\frac{1}{t-3}⩽-\frac{1}{2}\text{.}$ Умножим на $(t-3{)}^2>0$ (случай $t=3$ не входит в ОДЗ, так как знаменатель исходных дробей обращается в ноль). Получаем:

$$t-3⩽-\frac{1}{2}(t-3{)}^2\iff 2(t-3)+(t-3{)}^2⩽0\iff (t-3)(t-3+2)⩽0\iff (t-3)(t-1)⩽0.$$

Решаем методом интервалов: $t\in [1;3)\text{.}$ Учитываем, что $t\ne 3\text{,}$ поэтому $t\in [1;3)\text{.}$

2. $\frac{1}{t-3}⩾-\frac{1}{3}\text{.}$ Аналогично:

$$t-3⩾-\frac{1}{3}(t-3{)}^2\iff 3(t-3)+(t-3{)}^2⩾0\iff (t-3)(t-3+3)⩾0\iff (t-3)t⩾0.$$

Получаем $t⩽0$ или $t⩾3\text{.}$ Учитываем, что $t\ne 3\text{,}$ поэтому $t⩽0$ или $t>3\text{.}$

Объединяем решения: $t\in (-\infty ;0]\cup [1;3)\cup (3;+\infty )\text{.}$ Возвращаемся к $x\text{:}$ $t={\log }_{4}x\text{.}$

• $t⩽0\text{:}$ ${\log }_{4}x⩽0\Rightarrow 0<x⩽1\text{.}$

• $t\in [1;3)\text{:}$ $1⩽{\log }_{4}x<3\Rightarrow 4⩽x<64\text{.}$

• $t>3\text{:}$ ${\log }_{4}x>3\Rightarrow x>64\text{.}$

Учитываем ОДЗ исходного неравенства: $x>0\text{,}$ ${\log }_{4}x\ne 3$ (т.е. $x\ne 64$) и знаменатель второй дроби ${\log }_4^{2}x-{\log }_4(64x^6)+12\ne 0\text{,}$ что эквивалентно $(t-3{)}^2\ne 0\text{,}$ т.е. $t\ne 3\text{.}$ Все эти условия уже учтены.

Ответ:

$$(0;1]\cup [4;64)\cup (64;+\infty ).$$