Задача №15239

а) Решите уравнение
$8^x-3\cdot 2^{x+2}+2^{5-x}=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[{\log }_{4}5;\sqrt{3}\right]\text{.}$

а) Преобразуем уравнение: $8^x=(2^3{)}^x=2^{3x}\text{,}$ $2^{x+2}=4\cdot 2^x\text{,}$ $2^{5-x}=32\cdot 2^{-x}\text{.}$
Умножим обе части на $2^x\text{:}$

$$2^{3x}\cdot 2^x-12\cdot 2^x\cdot 2^x+32=0\Rightarrow 2^{4x}-12\cdot 2^{2x}+32=0.$$

Замена $t=2^{2x}\text{:}$

$$t^2-12t+32=0.$$

Корни: $t=8$ и $t=4\text{.}$
Обратная замена:
$2^{2x}=8\Rightarrow 2^{2x}=2^3\Rightarrow 2x=3\Rightarrow x=1.5\text{;}$
$2^{2x}=4\Rightarrow 2^{2x}=2^2\Rightarrow 2x=2\Rightarrow x=1\text{.}$

б) Отрезок $\left[{\log }_{4}5;\sqrt{3}\right]\text{.}$
Оценим границы: ${\log }_{4}5\approx 1.161\text{,}$ $\sqrt{3}\approx 1.732\text{.}$
Корень $x=1$ не принадлежит отрезку, так как $1<{\log }_{4}5\text{.}$
Корень $x=1.5$ принадлежит отрезку.

Ответ:

а) $x=1\text{,}$ $x=1.5$

б) $x=1.5$