Задача №15238

а) Решите уравнение
$16^{\cos x}+16^{\cos (\pi -x)}=\frac{17}{4}\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

а) Заметим, что $\cos (\pi -x)=-\cos x\text{.}$ Уравнение принимает вид:

$$16^{\cos x}+16^{-\cos x}=\frac{17}{4}.$$

Замена $t=16^{\cos x}\text{,}$ тогда:

$$t+\frac{1}{t}=\frac{17}{4}\Rightarrow 4t^2-17t+4=0.$$

Корни: $t=4$ и $t=\frac{1}{4}\text{.}$

Обратная замена:

$$16^{\cos x}=4\Rightarrow 16^{\cos x}=16^{1/2}\Rightarrow \cos x=\frac{1}{2};$$ $$16^{\cos x}=\frac{1}{4}\Rightarrow 16^{\cos x}=16^{-1/2}\Rightarrow \cos x=-\frac{1}{2}.$$

Решения:

$$\cos x=\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z};$$ $$\cos x=-\frac{1}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}.$$

б) Найдём корни на отрезке $\left[\pi ;\frac{5\pi }{2}\right]\text{.}$

Переберём серии:
1. $x=\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $\frac{7\pi }{3}$ (принадлежит).
2. $x=-\frac{\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $\frac{5\pi }{3}$ (принадлежит).
3. $x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $\frac{8\pi }{3}$ (не принадлежит).
4. $x=-\frac{2\pi }{3}+2\pi k\text{:}$ при $k=1$ получаем $\frac{4\pi }{3}$ (принадлежит).

Таким образом, корни на отрезке: $\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}\text{.}$

Ответ:

а) $x=\pm \frac{\pi }{3}+2\pi k,x=\pm \frac{2\pi }{3}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{4\pi }{3},\frac{5\pi }{3},\frac{7\pi }{3}$