На рёбрах AB и BC треугольной пирамиды ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM:MB = CN:NB = 1:2. Точки P и Q — середины рёбер DA и DC соответственно. а) Докажите, что точки P, Q, M и N лежат в одной плоскости. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость PQM разбивает пирамиду.

а) Рассмотрим треугольник ABC. Из условия AM:MB=1:2 и CN:NB=1:2 следует, что отрезок MN делит стороны AB и BC в одинаковом отношении (считая от вершины B). По теореме, обратной теореме Фалеса, прямая MN параллельна стороне AC. В треугольнике ADC точки P и Q — середины сторон DA и DC, поэтому отрезок PQ — средняя линия, параллельная AC. Таким образом, MN AC и PQ AC, откуда MN PQ. Параллельные прямые лежат в одной плоскости, следовательно, точки P, Q, M и N принадлежат одной плоскости. б) Обозначим объём пирамиды ABCD за V. Найдём объём пятигранника APMNCQ, на который плоскость PQM разбивает пирамиду. Разделим этот пятигранник на две пирамиды: 1. PACNM с вершиной P и основанием ACNM (четырёхугольник в плоскости ABC). 2. PQCN с вершиной P и основанием QCN (треугольник в плоскости BCD). Вычисление V_(PQCN): Точка Q — середина DC, поэтому CQ = (1)/(2) CD. Точка N делит BC как CN:NB=1:2, значит CN = (1)/(3) CB. Треугольники QCN и BCD имеют общий угол C, поэтому отношение их площадей: (S_(QCN))/(S_(BCD)) = (CQ* CN)/(CD* CB) = (12*13)/(1* 1) = (1)/(6). Расстояние от точки P до плоскости BCD вдвое меньше расстояния от A до BCD (так как P — середина DA). Объём пирамиды ABCD можно записать как V = (1)/(3) S_(BCD)* h_A, где h_A — высота из A. Тогда расстояние от P до BCD равно h_P = (h_A)/(2). Объём пирамиды PQCN: V_(PQCN) = (1)/(3) S_(QCN)* h_P = (1)/(3)*(1)/(6) S_(BCD)*(h_A)/(2) = (1)/(36) S_(BCD) h_A = (1)/(36)* 3V = (V)/(12). Вычисление V_(PACNM): Найдём площадь четырёхугольника ACNM. Треугольник MBN имеет стороны BM = (2)/(3) AB и BN = (2)/(3) BC, а угол B общий с треугольником ABC. Следовательно, (S_(MBN))/(S_(ABC)) = (BM* BN)/(AB* BC) = (23*23)/(1* 1) = (4)/(9). Тогда площадь ACNM: S_(ACNM) = S_(ABC) - S_(MBN) = S_(ABC) - (4)/(9) S_(ABC) = (5)/(9) S_(ABC). Расстояние от P до плоскости ABC вдвое меньше расстояния от D до ABC (так как P — середина DA). Пусть высота из D на ABC равна h_D, тогда V = (1)/(3) S_(ABC)* h_D. Расстояние от P до ABC: h_(P') = (h_D)/(2). Объём пирамиды PACNM: V_(PACNM) = (1)/(3) S_(ACNM)* h_(P') = (1)/(3)*(5)/(9) S_(ABC)*(h_D)/(2) = (5)/(54) S_(ABC) h_D = (5)/(54)* 3V = (5V)/(18). Суммарный объём пятигранника: V_(APMNCQ) = V_(PQCN) + V_(PACNM) = (V)/(12) + (5V)/(18) = (3V)/(36) + (10V)/(36) = (13V)/(36). Объём оставшегося многогранника BMNDPQ равен: V_(BMNDPQ) = V - (13V)/(36) = (23V)/(36). Искомое отношение объёмов: (V_(APMNCQ))/(V_(BMNDPQ)) = (13V/36)/(23V/36) = (13)/(23). Ответ: (13)/(23) .

\(\dfrac{13}{23}\)