Задача №15236

На рёбрах $AB$ и $BC$ треугольной пирамиды $ABCD$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $AM:MB=CN:NB=1:2\text{.}$ Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $DA$ и $DC$ соответственно.

а) Докажите, что точки $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $M$ и $N$ лежат в одной плоскости.

б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

а) Рассмотрим треугольник $ABC\text{.}$ Из условия $AM:MB=1:2$ и $CN:NB=1:2$ следует, что отрезок $MN$ делит стороны $AB$ и $BC$ в одинаковом отношении (считая от вершины $B$). По теореме, обратной теореме Фалеса, прямая $MN$ параллельна стороне $AC\text{.}$

В треугольнике $ADC$ точки $P$ и $Q$ — середины сторон $DA$ и $DC\text{,}$ поэтому отрезок $PQ$ — средняя линия, параллельная $AC\text{.}$

Таким образом, $MN\parallel AC$ и $PQ\parallel AC\text{,}$ откуда $MN\parallel PQ\text{.}$ Параллельные прямые лежат в одной плоскости, следовательно, точки $P\text{,}$ $Q\text{,}$ $M$ и $N$ принадлежат одной плоскости.

б) Обозначим объём пирамиды $ABCD$ за $V\text{.}$ Найдём объём пятигранника $APMNCQ\text{,}$ на который плоскость $PQM$ разбивает пирамиду.

Разделим этот пятигранник на две пирамиды:

1. $PACNM$ с вершиной $P$ и основанием $ACNM$ (четырёхугольник в плоскости $ABC$).

2. $PQCN$ с вершиной $P$ и основанием $QCN$ (треугольник в плоскости $BCD$).

Вычисление $V_{PQCN}\text{:}$

Точка $Q$ — середина $DC\text{,}$ поэтому $CQ=\frac{1}{2}CD\text{.}$ Точка $N$ делит $BC$ как $CN:NB=1:2\text{,}$ значит $CN=\frac{1}{3}CB\text{.}$

Треугольники $QCN$ и $BCD$ имеют общий угол $C\text{,}$ поэтому отношение их площадей:

$$\frac{S_{QCN}}{S_{BCD}}=\frac{CQ\cdot CN}{CD\cdot CB}=\frac{\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{3}}{1\cdot 1}=\frac{1}{6}.$$

Расстояние от точки $P$ до плоскости $BCD$ вдвое меньше расстояния от $A$ до $BCD$ (так как $P$ — середина $DA$). Объём пирамиды $ABCD$ можно записать как $V=\frac{1}{3}{S}_{BCD}\cdot h_A\text{,}$ где $h_A$ — высота из $A\text{.}$ Тогда расстояние от $P$ до $BCD$ равно $h_P=\frac{h_A}{2}\text{.}$

Объём пирамиды $PQCN\text{:}$

$$V_{PQCN}=\frac{1}{3}{S}_{QCN}\cdot h_P=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{6}{S}_{BCD}\cdot \frac{h_A}{2}=\frac{1}{36}{S}_{BCD}{h}_A=\frac{1}{36}\cdot 3V=\frac{V}{12}.$$

Вычисление $V_{PACNM}\text{:}$

Найдём площадь четырёхугольника $ACNM\text{.}$ Треугольник $MBN$ имеет стороны $BM=\frac{2}{3}AB$ и $BN=\frac{2}{3}BC\text{,}$ а угол $B$ общий с треугольником $ABC\text{.}$ Следовательно,

$$\frac{S_{MBN}}{S_{ABC}}=\frac{BM\cdot BN}{AB\cdot BC}=\frac{\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}}{1\cdot 1}=\frac{4}{9}.$$

Тогда площадь $ACNM\text{:}$

$$S_{ACNM}=S_{ABC}-S_{MBN}=S_{ABC}-\frac{4}{9}{S}_{ABC}=\frac{5}{9}{S}_{ABC}.$$

Расстояние от $P$ до плоскости $ABC$ вдвое меньше расстояния от $D$ до $ABC$ (так как $P$ — середина $DA$). Пусть высота из $D$ на $ABC$ равна $h_D\text{,}$ тогда $V=\frac{1}{3}{S}_{ABC}\cdot h_D\text{.}$ Расстояние от $P$ до $ABC\text{:}$ $h_{P^{\prime }}=\frac{h_D}{2}\text{.}$

Объём пирамиды $PACNM\text{:}$

$$V_{PACNM}=\frac{1}{3}{S}_{ACNM}\cdot h_{P^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot \frac{5}{9}{S}_{ABC}\cdot \frac{h_D}{2}=\frac{5}{54}{S}_{ABC}{h}_D=\frac{5}{54}\cdot 3V=\frac{5V}{18}.$$

Суммарный объём пятигранника:

$$V_{APMNCQ}=V_{PQCN}+V_{PACNM}=\frac{V}{12}+\frac{5V}{18}=\frac{3V}{36}+\frac{10V}{36}=\frac{13V}{36}.$$

Объём оставшегося многогранника $BMNDPQ$ равен:

$$V_{BMNDPQ}=V-\frac{13V}{36}=\frac{23V}{36}.$$

Искомое отношение объёмов:

$$\frac{V_{APMNCQ}}{V_{BMNDPQ}}=\frac{13V/36}{23V/36}=\frac{13}{23}.$$

Ответ: $\frac{13}{23}\text{.}$