Решите неравенство _(11)(2x^2 + 1) + _(11)((1)/(32x) + 1) >=_(11)((x)/(16) + 1).

ОДЗ: cases 2x^2+1>0 (выполнено всегда) , (1)/(32x)+1>0, (x)/(16)+1>0. cases Решим второе неравенство: (1+32x)/(32x)>0=> xin(-inf;-(1)/(32))U(0;+inf). Третье неравенство: (x)/(16)+1>0=> x>-16. Пересекая, получаем ОДЗ: xin(-16;-(1)/(32))U(0;+inf). На ОДЗ преобразуем неравенство: _(11)(2x^2+1)+_(11)((1)/(32x)+1)>=_(11)((x)/(16)+1) <=>_(11)((2x^2+1)((1)/(32x)+1))>=_(11)((x)/(16)+1). Логарифмическая функция с основанием 11>1 возрастает, поэтому: (2x^2+1)((1)/(32x)+1)>=(x)/(16)+1. Упростим левую часть: (2x^2+1)*(1+32x)/(32x)>=(x)/(16)+1. Умножим обе части на 32x, учитывая знак x (из ОДЗ). Рассмотрим два случая. 1) x>0: умножение на 32x>0 сохраняет знак неравенства: (2x^2+1)(1+32x)>= 32x((x)/(16)+1)=2x^2+32x. Раскроем скобки слева: 2x^2+64x^3+1+32x>= 2x^2+32x. Упрощаем: 64x^3+1>= 0, что верно для всех x>0. С учётом ОДЗ (x>0) получаем x>0. 2) xin(-16;-(1)/(32)): тогда 32x<0, умножение на 32x меняет знак неравенства: (2x^2+1)(1+32x)<= 2x^2+32x. Раскрываем: 2x^2+64x^3+1+32x<= 2x^2+32x=> 64x^3+1<= 0=> x^3<= -(1)/(64)=> x<= -(1)/(4). Учитывая промежуток (-16;-(1)/(32)), получаем xin(-16;-(1)/(32))n(-inf;-(1)/(4)]=(-16;-(1)/(4)]. Объединяя решения из обоих случаев с ОДЗ, получаем ответ. Ответ: xin(-16;-(1)/(4)]U(0;+inf).

\((-16;-\dfrac{1}{4}]\cup(0;+\infty)\)