Задача №15235

Решите неравенство ${\log }_{11}(2x^2+1)+{\log }_{11}\left(\frac{1}{32x}+1\right)\ge {\log }_{11}\left(\frac{x}{16}+1\right)\text{.}$

ОДЗ:

Решим второе неравенство: $\frac{1+32x}{32x}>0\Rightarrow x\in (-\infty ;-\frac{1}{32})\cup (0;+\infty )\text{.}$

Третье неравенство: $\frac{x}{16}+1>0\Rightarrow x>-16\text{.}$

Пересекая, получаем ОДЗ: $x\in (-16;-\frac{1}{32})\cup (0;+\infty )\text{.}$ На ОДЗ преобразуем неравенство:

Логарифмическая функция с основанием $11>1$ возрастает, поэтому:

Упростим левую часть:

Умножим обе части на $32x\text{,}$ учитывая знак $x$ (из ОДЗ). Рассмотрим два случая.

1) $x>0\text{:}$ умножение на $32x>0$ сохраняет знак неравенства:

Раскроем скобки слева: $2x^2+64x^3+1+32x\ge 2x^2+32x\text{.}$ Упрощаем: $64x^3+1\ge 0\text{,}$ что верно для всех $x>0\text{.}$ С учётом ОДЗ ($x>0$) получаем $x>0\text{.}$

2) $x\in (-16;-\frac{1}{32})\text{:}$ тогда $32x<0\text{,}$ умножение на $32x$ меняет знак неравенства:

Раскрываем: $2x^2+64x^3+1+32x\le 2x^2+32x\Rightarrow 64x^3+1\le 0\Rightarrow x^3\le -\frac{1}{64}\Rightarrow x\le -\frac{1}{4}\text{.}$ Учитывая промежуток $(-16;-\frac{1}{32})\text{,}$ получаем $x\in (-16;-\frac{1}{32})\cap (-\infty ;-\frac{1}{4}]=(-16;-\frac{1}{4}]\text{.}$

Объединяя решения из обоих случаев с ОДЗ, получаем ответ.

Ответ: $x\in (-16;-\frac{1}{4}]\cup (0;+\infty )\text{.}$