Решите неравенство (15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15)/(-x^2 + 2x) 0

Рассмотрим неравенство (15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15)/(-x^2 + 2x) 0. Преобразуем числитель: 15^x - 3^(x+1) - 5^(x+1) + 15 = (3^x* 5^x) - 3* 3^x - 5* 5^x + 15. Сгруппируем: (3^x* 5^x - 3* 3^x) - (5* 5^x - 15) = 3^x (5^x - 3) - 5 (5^x - 3) = (5^x - 3)(3^x - 5). Тогда неравенство принимает вид ((5^x - 3)(3^x - 5))/(-x(x-2)) 0 или ((5^x - 3)(3^x - 5))/(x(x-2)) 0 (умножили на -1, меняя знак неравенства). Найдём ОДЗ: x(x-2) != 0=> x!= 0, x!= 2. Решаем методом интервалов. Нули числителя: 5^x = 3=> x = _5 3, 3^x = 5=> x = _3 5. Заметим, что _5 3 < 1 < _3 5. Расставим знаки выражения ((5^x - 3)(3^x - 5))/(x(x-2)) на интервалах: (-inf; 0), (0; _5 3), (_5 3; 2), (2; _3 5), (_3 5; +inf). Определим знаки: При x < 0: 5^x < 1 < 3=> 5^x - 3 < 0, 3^x < 1 < 5=> 3^x - 5 < 0, произведение положительно, x(x-2) > 0 (так как x < 0), дробь положительна → не подходит (нам нужно 0). При 0 < x < _5 3: 5^x < 3=> 5^x - 3 < 0, 3^x < 3^(_5 3) = 5^(_5 3*_3 5?) проще: при x < _3 5 имеем 3^x < 5, значит 3^x - 5 < 0, произведение положительно, знаменатель x(x-2) < 0 (так как 0 < x < 2), дробь отрицательна → подходит. При _5 3 < x < 2: 5^x > 3=> 5^x - 3 > 0, 3^x < 5 (так как x < 2 < _3 5? проверим: _3 5~ 1.465, 2 > 1.465, поэтому на самом деле при x > _3 5 будет 3^x > 5. Значит, на интервале (_5 3; _3 5) имеем 5^x > 3 и 3^x < 5, тогда произведение отрицательно, знаменатель x(x-2) < 0 (так как 0 < x < 2), дробь положительна → не подходит. При 2 < x < _3 5: произведение отрицательно (так как 5^x > 3, 3^x < 5), знаменатель x(x-2) > 0, дробь отрицательна → подходит. При x > _3 5: оба множителя положительны, знаменатель положителен, дробь положительна → не подходит. Также включаем точки, где числитель равен нулю (так как неравенство нестрого): x = _5 3 и x = _3 5. Проверим, что они не попадают в запрещённые точки: _5 3~ 0.6826, _3 5~ 1.465, оба отличны от 0 и 2. Таким образом, решение: xin (0; _5 3] U (2; _3 5]. Ответ: xin (0; _5 3] U (2; _3 5]

\((0;log_5(3)]\cup(2;log_3(5)]\)