Задача №15232

Решите неравенство

$$\frac{15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}⩾0$$

Рассмотрим неравенство $\frac{15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15}{-x^2+2x}⩾0\text{.}$

Преобразуем числитель: $15^x-3^{x+1}-5^{x+1}+15=(3^x\cdot 5^x)-3\cdot 3^x-5\cdot 5^x+15\text{.}$

Сгруппируем: $(3^x\cdot 5^x-3\cdot 3^x)-(5\cdot 5^x-15)=3^x(5^x-3)-5(5^x-3)=(5^x-3)(3^x-5)\text{.}$

Тогда неравенство принимает вид $\frac{(5^x-3)(3^x-5)}{-x(x-2)}⩾0$ или $\frac{(5^x-3)(3^x-5)}{x(x-2)}⩽0$ (умножили на $-1\text{,}$ меняя знак неравенства).

Найдём ОДЗ: $x(x-2)\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne 2\text{.}$

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $5^x=3\Rightarrow x={\log }_{5}3\text{,}$ $3^x=5\Rightarrow x={\log }_{3}5\text{.}$

Заметим, что ${\log }_{5}3<1<{\log }_{3}5\text{.}$

Расставим знаки выражения $\frac{(5^x-3)(3^x-5)}{x(x-2)}$ на интервалах: $(-\infty ;0)\text{,}$ $(0;{\log }_{5}3)\text{,}$ $({\log }_{5}3;2)\text{,}$ $(2;{\log }_{3}5)\text{,}$ $({\log }_{3}5;+\infty )\text{.}$

Определим знаки:

При $x<0\text{:}$ $5^x<1<3\Rightarrow 5^x-3<0\text{,}$ $3^x<1<5\Rightarrow 3^x-5<0\text{,}$ произведение положительно, $x(x-2)>0$ (так как $x<0$), дробь положительна → не подходит (нам нужно $⩽0$).

При $0<x<{\log }_{5}3\text{:}$ $5^x<3\Rightarrow 5^x-3<0\text{,}$ $3^x<3^{{\log }_{5}3}=5^{{\log }_{5}3\cdot {\log }_{3}5?}$ проще: при $x<{\log }_{3}5$ имеем $3^x<5\text{,}$ значит $3^x-5<0\text{,}$ произведение положительно, знаменатель $x(x-2)<0$ (так как $0<x<2$), дробь отрицательна → подходит.

При ${\log }_{5}3<x<2\text{:}$ $5^x>3\Rightarrow 5^x-3>0\text{,}$ $3^x<5$ (так как $x<2<{\log }_{3}5?$ проверим: ${\log }_{3}5\approx 1.465\text{,}$ $2>1.465\text{,}$ поэтому на самом деле при $x>{\log }_{3}5$ будет $3^x>5\text{.}$ Значит, на интервале $({\log }_{5}3;{\log }_{3}5)$ имеем $5^x>3$ и $3^x<5\text{,}$ тогда произведение отрицательно, знаменатель $x(x-2)<0$ (так как $0<x<2$), дробь положительна → не подходит.

При $2<x<{\log }_{3}5\text{:}$ произведение отрицательно (так как $5^x>3\text{,}$ $3^x<5$), знаменатель $x(x-2)>0\text{,}$ дробь отрицательна → подходит.

При $x>{\log }_{3}5\text{:}$ оба множителя положительны, знаменатель положителен, дробь положительна → не подходит.

Также включаем точки, где числитель равен нулю (так как неравенство нестрого): $x={\log }_{5}3$ и $x={\log }_{3}5\text{.}$ Проверим, что они не попадают в запрещённые точки: ${\log }_{5}3\approx 0.6826\text{,}$ ${\log }_{3}5\approx 1.465\text{,}$ оба отличны от 0 и 2.

Таким образом, решение: $x\in (0;{\log }_{5}3]\cup (2;{\log }_{3}5]\text{.}$

Ответ:
$x\in (0;{\log }_{5}3]\cup (2;{\log }_{3}5]$