Сечением прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 плоскостью alpha, содержащей прямую BD_1 и параллельной прямой AC, является ромб. а) Докажите, что грань ABCD — квадрат. б) Найдите угол между плоскостями alpha и BCC_1, если AA_1 = 10, AB = 12.

а) Плоскость сечения alpha содержит диагональ BD_1 и параллельна прямой AC, лежащей в плоскости основания ABCD. Поэтому линия пересечения alpha с плоскостью основания проходит через точку B и параллельна AC. Пусть эта прямая пересекает продолжения сторон DA и DC в точках E и F соответственно. Сечением параллелепипеда плоскостью alpha является четырёхугольник BMD_1N, где M = D_1En AA_1, N = D_1Fn CC_1. Так как alpha AC, то MN AC. По условию сечение — ромб, поэтому его диагонали BD_1 и MN перпендикулярны: BD_1 MN. Учитывая, что MN AC, получаем BD_1 AC. Рассмотрим проекцию наклонной BD_1 на плоскость основания — это отрезок BD. По теореме о трёх перпендикулярах из BD_1 AC следует BD AC. В прямоугольнике ABCD перпендикулярность диагоналей означает, что он является квадратом. б) Из равенства сторон ромба BM = MD_1 и прямоугольных треугольников ABM и A_1D_1M находим: AB^2 + AM^2 = A_1D_1^2 + A_1M^2 => 12^2 + AM^2 = 12^2 + (10 - AM)^2. Отсюда AM = 5, т.е. M — середина AA_1. Аналогично N — середина CC_1. Тогда BM = sqrt(AB^2 + AM^2) = sqrt(144 + 25) = 13. Введём точку K — середину ребра BB_1. Так как MK AB и AB перпендикулярна плоскости BCC_1 (ибо AB BC и AB BB_1), то MK пл. BCC_1. Плоскости alpha и BCC_1 пересекаются по прямой BN. В плоскости BCC_1 проведём KH BN (H — основание перпендикуляра). Поскольку MK пл. BCC_1, имеем MK KH и MK BN. По теореме о трёх перпендикулярах из MK BN и KH BN следует, что MH BN. Значит, MHK — линейный угол двугранного угла между плоскостями alpha и BCC_1. В треугольнике BKN: BK = (BB_1)/(2) = 5, KN = BC = 12, BN = sqrt(BK^2 + KN^2) = sqrt(25 + 144) = 13. Треугольник BKN прямоугольный при K, поэтому его высота, опущенная из вершины K на гипотенузу BN, равна: KH = (BK* KN)/(BN) = (5* 12)/(13) = (60)/(13). В прямоугольном треугольнике MKH ( MKH = 90^): MK = AB = 12, KH = (60)/(13). Тангенс искомого угла: tg MHK = (MK)/(KH) = (12)/(60/13) = (12* 13)/(60) = (13)/(5). Таким образом, угол между плоскостями alpha и BCC_1 равен arctg(13)/(5). Ответ: arctg(13)/(5).

\(\arctg\frac{13}{5}\)