Задача №15230

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ все рёбра равны, на ребре $A{A}_1$ отмечена точка $M\text{.}$ Известно, что $AM=2M{A}_1\text{.}$ Через точки $M$ и $C_1$ провели плоскость $\alpha$ перпендикулярно грани $AB{B}_1{A}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ делит ребро $A_1{B}_1$ пополам.
б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\alpha$ равна $\sqrt{39}\text{.}$

Пусть сторона основания и боковое ребро призмы равны $a\text{.}$

а) Пусть $K$ — середина ребра $A_1{B}_1\text{.}$ Так как основание $A_1{B}_1{C}_1$ — правильный треугольник, медиана $C_{1}K$ является и высотой, то есть $C_{1}K\perp A_1{B}_1\text{.}$

Поскольку призма правильная, плоскость основания $(A_1{B}_1{C}_1)$ перпендикулярна плоскости боковой грани $(AB{B}_1{A}_1)\text{.}$ Прямая их пересечения — $A_1{B}_1\text{.}$ Так как $C_{1}K\subset (A_1{B}_1{C}_1)$ и $C_{1}K\perp A_1{B}_1\text{,}$ то по признаку перпендикулярности плоскостей $C_{1}K\perp (AB{B}_1{A}_1)\text{.}$

Плоскость $\alpha$ проходит через точку $C_1$ и перпендикулярна грани $(AB{B}_1{A}_1)\text{.}$ Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Прямая $C_{1}K$ перпендикулярна $(AB{B}_1{A}_1)\text{,}$ следовательно, любая плоскость, содержащая $C_{1}K\text{,}$ будет перпендикулярна $(AB{B}_1{A}_1)\text{.}$ Так как такая плоскость $\alpha$ единственна (проходит через $M$ и $C_1$), то прямая $C_{1}K$ лежит в плоскости $\alpha \text{.}$

Следовательно, точка $K$ (середина $A_1{B}_1$) принадлежит плоскости $\alpha \text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Сечением призмы плоскостью $\alpha$ является треугольник $M{C}_{1}K\text{.}$ Так как $C_{1}K\perp (AB{B}_1{A}_1)\text{,}$ а прямая $MK$ лежит в этой грани, то $C_{1}K\perp MK\text{.}$ Значит, треугольник $M{C}_{1}K$ — прямоугольный с прямым углом $K\text{.}$

Выразим стороны треугольника через $a\text{:}$

1. $C_{1}K=\frac{a\sqrt{3}}{2}$ (высота правильного треугольника).

2. В прямоугольном треугольнике $M{A}_{1}K$ (угол $A_1=90^{\circ }$):

$$A_{1}K=\frac{a}{2},M{A}_1=\frac{1}{3}A{A}_1=\frac{a}{3}$$ $$MK=\sqrt{M{A}_1^2+A_1{K}^2}=\sqrt{{\left(\frac{a}{3}\right)}^2+{\left(\frac{a}{2}\right)}^2}=\sqrt{\frac{a^2}{9}+\frac{a^2}{4}}=\sqrt{\frac{13a^2}{36}}=\frac{a\sqrt{13}}{6}$$

Площадь сечения:

$$S=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot C_{1}K=\frac{1}{2}\cdot \frac{a\sqrt{13}}{6}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a^2\sqrt{39}}{24}$$

По условию $S=\sqrt{39}\text{,}$ тогда:

$$\frac{a^2\sqrt{39}}{24}=\sqrt{39}\Rightarrow a^2=24\Rightarrow a=2\sqrt{6}$$

Высота призмы равна $a=2\sqrt{6}\text{.}$

Ответ:

а) доказано

б) $2\sqrt{6}$