В правильной треугольной призме ABC A_1B_1C_1 все рёбра равны, на ребре AA_1 отмечена точка M. Известно, что AM = 2MA_1. Через точки M и C_1 провели плоскость alpha перпендикулярно грани ABB_1A_1. а) Докажите, что плоскость alpha делит ребро A_1B_1 пополам. б) Найдите высоту призмы, если площадь сечения призмы ABC A_1B_1C_1 плоскостью alpha равна sqrt(39).

Пусть сторона основания и боковое ребро призмы равны a. а) Пусть K — середина ребра A_1B_1. Так как основание A_1B_1C_1 — правильный треугольник, медиана C_1K является и высотой, то есть C_1K A_1B_1. Поскольку призма правильная, плоскость основания (A_1B_1C_1) перпендикулярна плоскости боковой грани (ABB_1A_1). Прямая их пересечения — A_1B_1. Так как C_1K c (A_1B_1C_1) и C_1K A_1B_1, то по признаку перпендикулярности плоскостей C_1K (ABB_1A_1). Плоскость alpha проходит через точку C_1 и перпендикулярна грани (ABB_1A_1). Если плоскость содержит прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны. Прямая C_1K перпендикулярна (ABB_1A_1), следовательно, любая плоскость, содержащая C_1K, будет перпендикулярна (ABB_1A_1). Так как такая плоскость alpha единственна (проходит через M и C_1), то прямая C_1K лежит в плоскости alpha. Следовательно, точка K (середина A_1B_1) принадлежит плоскости alpha. Что и требовалось доказать. б) Сечением призмы плоскостью alpha является треугольник MC_1K. Так как C_1K (ABB_1A_1), а прямая MK лежит в этой грани, то C_1K MK. Значит, треугольник MC_1K — прямоугольный с прямым углом K. Выразим стороны треугольника через a: 1. C_1K = (asqrt(3))/(2) (высота правильного треугольника). 2. В прямоугольном треугольнике MA_1K (угол A_1 = 90^): A_1K = (a)/(2), MA_1 = (1)/(3)AA_1 = (a)/(3) MK = sqrt(MA_1^2 + A_1K^2) = sqrt(((a)/(3))^2 + ((a)/(2))^2) = sqrt((a^2)/(9) + (a^2)/(4)) = sqrt((13a^2)/(36)) = (asqrt(13))/(6) Площадь сечения: S = (1)/(2) * MK * C_1K = (1)/(2) * (asqrt(13))/(6) * (asqrt(3))/(2) = (a^2sqrt(39))/(24) По условию S = sqrt(39), тогда: (a^2sqrt(39))/(24) = sqrt(39) => a^2 = 24 => a = 2sqrt(6) Высота призмы равна a = 2sqrt(6). Ответ: а) доказано б) 2sqrt(6)

а) доказано б) \( 2\sqrt{6} \)