Основанием четырёхугольной пирамиды PABCD является трапеция ABCD, причём BAD + ADC = 90^. Плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, K — точка пересечения прямых AB и CD. а) Докажите, что плоскости PAB и PCD перпендикулярны. б) Найдите объём пирамиды KBCP, если AB = BC = CD = 4, а высота пирамиды PABCD равна 9.

а) Так как плоскости PAB и PCD перпендикулярны плоскости основания, то их линия пересечения PK перпендикулярна плоскости основания. В трапеции ABCD сумма углов BAD + ADC = 90^. В треугольнике AKD: AKD = 180^ - ( KAD + KDA) = 180^ - ( BAD + ADC) = 90^, следовательно, AB CD. Прямая PK перпендикулярна основанию, поэтому PK AB. Таким образом, AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым CD и PK в плоскости PCD, значит, AB (PCD). Поскольку AB лежит в плоскости PAB, то плоскости PAB и PCD перпендикулярны. б) В трапеции ABCD: AB = BC = CD = 4. Так как AB = CD, трапеция равнобедренная, поэтому BAD = ADC. Из условия их сумма 90^, значит, каждый равен 45^. Проведём высоты BH и CE на основание AD. В прямоугольном треугольнике ABH: AH = AB*cos 45^ = 4*(sqrt(2))/(2) = 2sqrt(2), BH = 4*(sqrt(2))/(2) = 2sqrt(2). Аналогично DE = 2sqrt(2). Так как HE = BC = 4, то AD = AH + HE + ED = 2sqrt(2) + 4 + 2sqrt(2) = 4 + 4sqrt(2). Треугольники KBC и KAD подобны (так как AD BC). Коэффициент подобия: k = (BC)/(AD) = (4)/(4 + 4sqrt(2)) = (1)/(1 + sqrt(2)) = sqrt(2) - 1. Обозначим KB = x. Из подобия: (x)/(x + 4) = sqrt(2) - 1 => x = 2sqrt(2). Аналогично KC = 2sqrt(2). В треугольнике KBC: KB^2 + KC^2 = (2sqrt(2))^2 + (2sqrt(2))^2 = 8 + 8 = 16 = BC^2, значит, BKC = 90^. Площадь треугольника KBC: S = (1)/(2)* KB* KC = (1)/(2)* 2sqrt(2)* 2sqrt(2) = 4. Высота пирамиды PABCD равна 9, поэтому расстояние от точки P до плоскости основания (в которой лежит треугольник KBC) также равно 9. Тогда объём пирамиды KBCP: V = (1)/(3)* S* H = (1)/(3)* 4* 9 = 12. Ответ: а) Доказано. б) 12

\(12\)