Задача №15228

Основанием четырёхугольной пирамиды $PABCD$ является трапеция $ABCD\text{,}$ причём $\angle BAD+\angle ADC=90^{\circ }\text{.}$ Плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, $K$ — точка пересечения прямых $AB$ и $CD\text{.}$

а) Докажите, что плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.

б) Найдите объём пирамиды $KBCP\text{,}$ если $AB=BC=CD=4\text{,}$ а высота пирамиды $PABCD$ равна 9.

а) Так как плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны плоскости основания, то их линия пересечения $PK$ перпендикулярна плоскости основания. В трапеции $ABCD$ сумма углов $\angle BAD+\angle ADC=90^{\circ }\text{.}$ В треугольнике $AKD\text{:}$

$$\angle AKD=180^{\circ }-(\angle KAD+\angle KDA)=180^{\circ }-(\angle BAD+\angle ADC)=90^{\circ },$$

следовательно, $AB\perp CD\text{.}$ Прямая $PK$ перпендикулярна основанию, поэтому $PK\perp AB\text{.}$ Таким образом, $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $CD$ и $PK$ в плоскости $PCD\text{,}$ значит, $AB\perp (PCD)\text{.}$ Поскольку $AB$ лежит в плоскости $PAB\text{,}$ то плоскости $PAB$ и $PCD$ перпендикулярны.

б) В трапеции $ABCD\text{:}$ $AB=BC=CD=4\text{.}$ Так как $AB=CD\text{,}$ трапеция равнобедренная, поэтому $\angle BAD=\angle ADC\text{.}$ Из условия их сумма $90^{\circ }\text{,}$ значит, каждый равен $45^{\circ }\text{.}$ Проведём высоты $BH$ и $CE$ на основание $AD\text{.}$ В прямоугольном треугольнике $ABH\text{:}$

$$AH=AB\cdot \cos 45^{\circ }=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2},BH=4\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}.$$

Аналогично $DE=2\sqrt{2}\text{.}$ Так как $HE=BC=4\text{,}$ то

$$AD=AH+HE+ED=2\sqrt{2}+4+2\sqrt{2}=4+4\sqrt{2}.$$

Треугольники $KBC$ и $KAD$ подобны (так как $AD\parallel BC$). Коэффициент подобия:

$$k=\frac{BC}{AD}=\frac{4}{4+4\sqrt{2}}=\frac{1}{1+\sqrt{2}}=\sqrt{2}-1.$$

Обозначим $KB=x\text{.}$ Из подобия:

$$\frac{x}{x+4}=\sqrt{2}-1\Rightarrow x=2\sqrt{2}.$$

Аналогично $KC=2\sqrt{2}\text{.}$ В треугольнике $KBC\text{:}$

$$K{B}^2+K{C}^2=(2\sqrt{2}{)}^2+(2\sqrt{2}{)}^2=8+8=16=B{C}^2,$$

значит, $\angle BKC=90^{\circ }\text{.}$ Площадь треугольника $KBC\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot KB\cdot KC=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 2\sqrt{2}=4.$$

Высота пирамиды $PABCD$ равна 9, поэтому расстояние от точки $P$ до плоскости основания (в которой лежит треугольник $KBC$) также равно 9. Тогда объём пирамиды $KBCP\text{:}$

$$V=\frac{1}{3}\cdot S\cdot H=\frac{1}{3}\cdot 4\cdot 9=12.$$

Ответ:

а) Доказано.

б) $12$