Решите неравенство (3^(3x) - 15* 9^x + 7* 3^(x+2) - 81)/(x - 1) 0.

Рассмотрим неравенство: (3^(3x) - 15* 9^x + 7* 3^(x+2) - 81)/(x - 1) 0. Преобразуем числитель. Заметим, что 3^(3x) = (3^x)^3, 9^x = (3^2)^x = 3^(2x) = (3^x)^2. Пусть t = 3^x > 0. Тогда числитель: t^3 - 15t^2 + 7* 9* t - 81 = t^3 - 15t^2 + 63t - 81. Проверим t = 3: 27 - 135 + 189 - 81 = 0. Значит, t-3 — множитель. Разделим многочлен на t-3: (t^3 - 15t^2 + 63t - 81) : (t-3) = t^2 - 12t + 27. Корни t^2 - 12t + 27 = 0: t = 3 и t = 9. Итак, t^3 - 15t^2 + 63t - 81 = (t-3)^2(t-9). Возвращаемся к t = 3^x: (3^x - 3)^2 (3^x - 9) = (3^x - 3)^2 (3^x - 9). Тогда неравенство принимает вид: ((3^x - 3)^2 (3^x - 9))/(x - 1) 0. Заметим, что (3^x - 3)^2 0 при всех x. При 3^x = 3 (т.е. x = 1) числитель равен 0, но знаменатель x-1 также обращается в 0, поэтому выражение не определено. При x!= 1 квадрат положителен, кроме точки x=1, где он ноль, но она исключена. Поэтому знак дроби определяется знаком выражения (3^x - 9)/(x - 1), так как квадрат всегда неотрицателен и не влияет на знак (кроме нуля, но нуль числителя даёт равенство). Учитываем, что (3^x - 3)^2 = 0 при x=1, но эта точка исключена из области определения (знаменатель ноль). Поэтому рассматриваем два случая: 1) Если x!= 1, то (3^x - 3)^2 > 0 (при x!= 1 значение 3^x!= 3, так как 3^x = 3<=> x=1). Тогда неравенство равносильно: (3^x - 9)/(x - 1) 0. Решаем методом интервалов. Найдём нули числителя: 3^x - 9 = 0<=> 3^x = 9<=> x = 2. Знаменатель: x - 1 = 0<=> x = 1. Расставляем знаки на числовой прямой: - При x < 1: 3^x < 3^1 = 3 < 9, значит 3^x - 9 < 0; x-1 < 0. Дробь (-)/(-) > 0. - При 1 < x < 2: 3^x < 9, т.е. 3^x - 9 < 0; x-1 > 0. Дробь (-)/(+) < 0. - При x > 2: 3^x > 9, т.е. 3^x - 9 > 0; x-1 > 0. Дробь (+)/(+) > 0. Так как неравенство нестрогое, включаем точку, где числитель равен нулю: x = 2. Точка x=1 исключена (знаменатель ноль). Получаем: 1 < x 2. 2) Отдельно рассмотрим случай, когда числитель исходной дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель равен нулю, если (3^x - 3)^2 (3^x - 9) = 0. Это выполняется при 3^x = 3 (т.е. x=1) или 3^x = 9 (т.е. x=2). При x=1 знаменатель тоже ноль, поэтому выражение не определено. При x=2 знаменатель 2-1=1!= 0, поэтому дробь равна нулю и удовлетворяет неравенству. Уже включили x=2 в первый случай. Ответ: 1 < x 2.

\((1;2]\)