Задача №15226

Решите неравенство

$$\frac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}⩽0.$$

Рассмотрим неравенство:

$$\frac{3^{3x}-15\cdot 9^x+7\cdot 3^{x+2}-81}{x-1}⩽0.$$

Преобразуем числитель. Заметим, что $3^{3x}=(3^x{)}^3\text{,}$ $9^x=(3^2{)}^x=3^{2x}=(3^x{)}^2\text{.}$ Пусть $t=3^x>0\text{.}$ Тогда числитель:

$$t^3-15t^2+7\cdot 9\cdot t-81=t^3-15t^2+63t-81.$$

Проверим $t=3\text{:}$ $27-135+189-81=0\text{.}$ Значит, $t-3$ — множитель. Разделим многочлен на $t-3\text{:}$

$$(t^3-15t^2+63t-81):(t-3)=t^2-12t+27.$$

Корни $t^2-12t+27=0\text{:}$ $t=3$ и $t=9\text{.}$ Итак,

$$t^3-15t^2+63t-81=(t-3{)}^2(t-9).$$

Возвращаемся к $t=3^x\text{:}$

$$(3^x-3{)}^2(3^x-9)=(3^x-3{)}^2(3^x-9).$$

Тогда неравенство принимает вид:

$$\frac{(3^x-3{)}^2(3^x-9)}{x-1}⩽0.$$

Заметим, что $(3^x-3{)}^2⩾0$ при всех $x\text{.}$ При $3^x=3$ (т.е. $x=1$) числитель равен 0, но знаменатель $x-1$ также обращается в 0, поэтому выражение не определено. При $x\ne 1$ квадрат положителен, кроме точки $x=1\text{,}$ где он ноль, но она исключена. Поэтому знак дроби определяется знаком выражения $\frac{3^x-9}{x-1}\text{,}$ так как квадрат всегда неотрицателен и не влияет на знак (кроме нуля, но нуль числителя даёт равенство). Учитываем, что $(3^x-3{)}^2=0$ при $x=1\text{,}$ но эта точка исключена из области определения (знаменатель ноль). Поэтому рассматриваем два случая:

1) Если $x\ne 1\text{,}$ то $(3^x-3{)}^2>0$ (при $x\ne 1$ значение $3^x\ne 3\text{,}$ так как $3^x=3\iff x=1$). Тогда неравенство равносильно:

$$\frac{3^x-9}{x-1}⩽0.$$

Решаем методом интервалов. Найдём нули числителя: $3^x-9=0\iff 3^x=9\iff x=2\text{.}$ Знаменатель: $x-1=0\iff x=1\text{.}$

Расставляем знаки на числовой прямой:

• При $x<1\text{:}$ $3^x<3^1=3<9\text{,}$ значит $3^x-9<0\text{;}$ $x-1<0\text{.}$ Дробь $\frac{-}{-}>0\text{.}$
• При $1<x<2\text{:}$ $3^x<9\text{,}$ т.е. $3^x-9<0\text{;}$ $x-1>0\text{.}$ Дробь $\frac{-}{+}<0\text{.}$
• При $x>2\text{:}$ $3^x>9\text{,}$ т.е. $3^x-9>0\text{;}$ $x-1>0\text{.}$ Дробь $\frac{+}{+}>0\text{.}$

Так как неравенство нестрогое, включаем точку, где числитель равен нулю: $x=2\text{.}$ Точка $x=1$ исключена (знаменатель ноль). Получаем: $1<x⩽2\text{.}$

2) Отдельно рассмотрим случай, когда числитель исходной дроби равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Числитель равен нулю, если $(3^x-3{)}^2(3^x-9)=0\text{.}$ Это выполняется при $3^x=3$ (т.е. $x=1$) или $3^x=9$ (т.е. $x=2$). При $x=1$ знаменатель тоже ноль, поэтому выражение не определено. При $x=2$ знаменатель $2-1=1\ne 0\text{,}$ поэтому дробь равна нулю и удовлетворяет неравенству. Уже включили $x=2$ в первый случай.

Ответ: $1<x⩽2\text{.}$