Задача №15224

На ребре $SD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ с основанием $ABCD$ отмечена точка $M\text{,}$ причём $SM:MD=2:1\text{.}$ Точки $P$ и $Q$ — середины рёбер $BC$ и $AD$ соответственно.
а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью $MPQ$ является равнобедренной трапецией.
б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду.

а) Построение сечения и его вид

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ основание $ABCD$ — квадрат. Точки $Q$ и $P$ — середины рёбер $AD$ и $BC\text{,}$ поэтому отрезок $QP$ параллелен сторонам $AB$ и $CD\text{.}$

Плоскость сечения проходит через прямую $QP\text{.}$ Так как $QP\parallel CD\text{,}$ то прямая $CD$ параллельна плоскости $MPQ\text{.}$ Значит, линия пересечения этой плоскости с гранью $SCD$ параллельна $CD\text{.}$ Проведём через точку $M$ прямую $MT\parallel CD\text{,}$ где $T\in SC\text{.}$ Четырёхугольник $QPTM$ — искомое сечение.

Из параллельности $MT\parallel CD$ и подобия $△SMT\sim △SDC$ с коэффициентом $\frac{SM}{SD}=\frac{2}{3}$ получаем $MT=\frac{2}{3}CD=\frac{2}{3}QP\text{,}$ то есть $MT\parallel QP$ и $MT<QP\text{.}$ Значит, $QPTM$ — трапеция.

Покажем, что она равнобедренная. Рассмотрим треугольники $MDQ$ и $TCP\text{.}$ В них:

• $DQ=CP=\frac{a}{2}$ (половины равных сторон квадрата);
• $MD=TC=\frac{1}{3}SD=\frac{1}{3}SC$ (из условия $SM:MD=2:1$ и подобия $△SMT\sim △SDC$);
• $\angle MDQ=\angle TCP$ (это углы между боковым ребром и стороной основания в правильной пирамиде; они равны по симметрии).

По двум сторонам и углу между ними $△MDQ=△TCP\text{,}$ поэтому $MQ=TP\text{.}$ Трапеция $QPTM$ равнобедренная, что и требовалось доказать.

б) Отношение объёмов

Пусть $a$ — сторона основания, $h$ — высота пирамиды. Тогда

Плоскость $MPQ$ разбивает пирамиду на два многогранника. Обозначим через $V_{\text{отс}}$ объём той части, которая содержит ребро $CD\text{,}$ — это многогранник с вершинами $Q,P,C,D,M,T\text{.}$ Его грани:

• нижняя — прямоугольник $QPCD$ со сторонами $QP=a$ и $QD=\frac{a}{2}\text{;}$
• верхняя (сечение) — трапеция $QPTM\text{;}$
• задняя — трапеция $DCTM$ на грани $SCD\text{;}$
• две боковые треугольные грани $DQM$ и $CPT$ на гранях $SAD$ и $SBC\text{.}$

Высота многогранника. Так как $SM:MD=2:1\text{,}$ точка $M$ делит отрезок $SD$ в отношении $2:1\text{,}$ считая от вершины. Значит, расстояние от $M$ до плоскости основания равно $\frac{1}{3}h\text{.}$ Аналогично для $T\text{.}$ Таким образом, отрезок $MT$ лежит в плоскости, параллельной основанию и удалённой от него на $\frac{h}{3}\text{.}$

Разбиение многогранника на призму и две пирамиды. Введём для удобства точки — проекции $M$ и $T$ на плоскость основания. В квадрате $ABCD$ точка $M$ проектируется в точку $M_1$ на отрезке $OD\text{,}$ где $O$ — центр квадрата; по подобию $D{M}_1=\frac{1}{3}DO\text{.}$ Аналогично определяется $T_1$ на отрезке $OC\text{.}$ Проведём через $M$ и $T$ вертикальные плоскости, перпендикулярные прямой $CD\text{,}$ то есть параллельные граням $SAD$ и $SBC\text{.}$

Эти плоскости рассекут многогранник $QPCDMT$ на три части:

1. Средняя часть — прямая треугольная призма. Её основания лежат в указанных плоскостях и представляют собой одинаковые равные треугольники: с одной стороны — с вершинами в точках на $QP\text{,}$ $DC$ и в точке $M\text{;}$ с другой — с вершинами в точках на $QP\text{,}$ $DC$ и в точке $T\text{.}$ Основание этого треугольника — отрезок длины $QD=\frac{a}{2}$ (часть стороны прямоугольника $QPCD$), высота треугольника равна высоте точки $M$ над основанием, то есть $\frac{h}{3}\text{.}$ Длина призмы равна $MT=\frac{2a}{3}\text{.}$

Площадь основания призмы:

Объём призмы:

2. Левая крайняя часть — пирамида с прямоугольным основанием в плоскости основания исходной пирамиды и вершиной в точке $M\text{.}$ Её основание — прямоугольник со сторонами, равными расстоянию от ребра $AD$ до проекции точки $M$ (это $\frac{a}{6}\text{,}$ так как $M$ находится над точкой, делящей отрезок от $D$ к центру $O$ в отношении $1:2$) и $QD=\frac{a}{2}\text{.}$ Значит,

Высота пирамиды равна $\frac{h}{3}$ (высота точки $M$ над плоскостью основания). Тогда

3. Правая крайняя часть симметрична левой относительно плоскости симметрии пирамиды (проходящей через апофемы граней $SAD$ и $SBC$), поэтому

Суммарный объём отсечённой части:

Приводя к общему знаменателю $108\text{:}$

Сравнение с полным объёмом. Запишем общий объём в том же знаменателе:

Объём второй части:

Искомое отношение:

Ответ: $7:2\text{.}$