На ребре SD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD с основанием ABCD отмечена точка M , причём SM : MD = 2 : 1 . Точки P и Q — середины рёбер BC и AD соответственно. а) Докажите, что сечение пирамиды плоскостью MPQ является равнобедренной трапецией. б) Найдите отношение объёмов многогранников, на которые плоскость MPQ разбивает пирамиду.

## а) Построение сечения и его вид В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD основание ABCD — квадрат. Точки Q и P — середины рёбер AD и BC , поэтому отрезок QP параллелен сторонам AB и CD . Плоскость сечения проходит через прямую QP . Так как QP CD , то прямая CD параллельна плоскости MPQ . Значит, линия пересечения этой плоскости с гранью SCD параллельна CD . Проведём через точку M прямую MT CD , где T in SC . Четырёхугольник QPTM — искомое сечение. Из параллельности MT CD и подобия SMT SDC с коэффициентом (SM)/(SD) = (2)/(3) получаем MT = (2)/(3)CD = (2)/(3)QP , то есть MT QP и MT < QP . Значит, QPTM — трапеция. Покажем, что она равнобедренная. Рассмотрим треугольники MDQ и TCP . В них: - DQ = CP = (a)/(2) (половины равных сторон квадрата); - MD = TC = (1)/(3)SD = (1)/(3)SC (из условия SM:MD = 2:1 и подобия SMT SDC ); - MDQ = TCP (это углы между боковым ребром и стороной основания в правильной пирамиде; они равны по симметрии). По двум сторонам и углу между ними MDQ = TCP , поэтому MQ = TP . Трапеция QPTM равнобедренная, что и требовалось доказать. ## б) Отношение объёмов Пусть a — сторона основания, h — высота пирамиды. Тогда V = (1)/(3)a^2 h. Плоскость MPQ разбивает пирамиду на два многогранника. Обозначим через V_(отс) объём той части, которая содержит ребро CD , — это многогранник с вершинами Q, P, C, D, M, T . Его грани: - нижняя — прямоугольник QPCD со сторонами QP = a и QD = (a)/(2) ; - верхняя (сечение) — трапеция QPTM ; - задняя — трапеция DCTM на грани SCD ; - две боковые треугольные грани DQM и CPT на гранях SAD и SBC . **Высота многогранника.** Так как SM:MD = 2:1 , точка M делит отрезок SD в отношении 2:1 , считая от вершины. Значит, расстояние от M до плоскости основания равно (1)/(3) h . Аналогично для T . Таким образом, отрезок MT лежит в плоскости, параллельной основанию и удалённой от него на (h)/(3) . **Разбиение многогранника на призму и две пирамиды.** Введём для удобства точки — проекции M и T на плоскость основания. В квадрате ABCD точка M проектируется в точку M_1 на отрезке OD , где O — центр квадрата; по подобию DM_1 = (1)/(3)DO . Аналогично определяется T_1 на отрезке OC . Проведём через M и T вертикальные плоскости, перпендикулярные прямой CD , то есть параллельные граням SAD и SBC . Эти плоскости рассекут многогранник QPCDMT на три части: 1. **Средняя часть** — прямая треугольная призма. Её основания лежат в указанных плоскостях и представляют собой одинаковые равные треугольники: с одной стороны — с вершинами в точках на QP , DC и в точке M ; с другой — с вершинами в точках на QP , DC и в точке T . Основание этого треугольника — отрезок длины QD = (a)/(2) (часть стороны прямоугольника QPCD ), высота треугольника равна высоте точки M над основанием, то есть (h)/(3) . Длина призмы равна MT = (2a)/(3) . Площадь основания призмы: S_() = (1)/(2)*(a)/(2)*(h)/(3) = (ah)/(12). Объём призмы: V_(пр) = S_()* MT = (ah)/(12)*(2a)/(3) = (a^2 h)/(18). 2. **Левая крайняя часть** — пирамида с прямоугольным основанием в плоскости основания исходной пирамиды и вершиной в точке M . Её основание — прямоугольник со сторонами, равными расстоянию от ребра AD до проекции точки M (это (a)/(6) , так как M находится над точкой, делящей отрезок от D к центру O в отношении 1:2 ) и QD = (a)/(2) . Значит, S_(осн) = (a)/(6)*(a)/(2) = (a^2)/(12). Высота пирамиды равна (h)/(3) (высота точки M над плоскостью основания). Тогда V_(лев) = (1)/(3)*(a^2)/(12)*(h)/(3) = (a^2 h)/(108). 3. **Правая крайняя часть** симметрична левой относительно плоскости симметрии пирамиды (проходящей через апофемы граней SAD и SBC ), поэтому V_(прав) = V_(лев) = (a^2 h)/(108). **Суммарный объём отсечённой части:** V_(отс) = V_(пр) + V_(лев) + V_(прав) = (a^2 h)/(18) + (a^2 h)/(108) + (a^2 h)/(108). Приводя к общему знаменателю 108 : V_(отс) = (6 a^2 h)/(108) + (a^2 h)/(108) + (a^2 h)/(108) = (8 a^2 h)/(108) = (2 a^2 h)/(27). **Сравнение с полным объёмом.** Запишем общий объём в том же знаменателе: V = (a^2 h)/(3) = (9 a^2 h)/(27). Объём второй части: V_2 = V - V_(отс) = (9 a^2 h)/(27) - (2 a^2 h)/(27) = (7 a^2 h)/(27). Искомое отношение: (V_2)/(V_(отс)) = (7 a^2 h27)/(2 a^2 h27) = (7)/(2). **Ответ:** 7 : 2 .

а) доказано б) 7:2