В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1D_1 в отношении A_1M : MD_1 = 1 : 2, а точка K — середина ребра DD_1. а) Докажите, что плоскость MKC параллельна прямой BD. б) Найдите тангенс угла между плоскостью MKC и плоскостью основания призмы, если MKC = 90^, ADC = 60^.

а) Пусть высота призмы равна h. В плоскости боковой грани ADD_1A_1 прямая MK пересекает прямую AD в точке T. Из подобия треугольников MD_1K и TDK (по двум углам, так как D_1M DT) следует: (DT)/(D_1M) = (DK)/(D_1K) Так как K — середина DD_1, то DK = D_1K, следовательно, DT = D_1M. По условию AD = 3 и A_1M : MD_1 = 1 : 2, значит, A_1D_1 = AD = 3, откуда D_1M = 2. Тогда DT = 2. В основании призмы рассмотрим трапецию ABCD. Так как BC AD и BC = 2, DT = 2, то четырёхугольник BCDT — параллелограмм (противоположные стороны BC и DT равны и параллельны). Следовательно, BD CT. Прямая CT лежит в плоскости MKC, так как точки C и T (как точка на прямой MK) принадлежат этой плоскости. Таким образом, прямая BD параллельна плоскости MKC по признаку параллельности прямой и плоскости. б) Пусть h — высота призмы. В равнобедренной трапеции ABCD с основаниями 3 и 2 и углом D = 60^ опустим высоту CH на AD. Тогда DH = (3 - 2)/(2) = 0,5. Из CDH: CD = (DH)/(cos 60^) = 1, CH = DH * tg 60^ = (sqrt(3))/(2) Найдем квадраты сторон треугольника MKC: 1. Из MD_1K: MK^2 = MD_1^2 + D_1K^2 = 2^2 + ((h)/(2))^2 = 4 + (h^2)/(4). 2. Из CDK: CK^2 = CD^2 + DK^2 = 1^2 + ((h)/(2))^2 = 1 + (h^2)/(4). 3. Для MC^2 спроецируем M на плоскость основания (точка M' на AD). AM' = 1, AD = 3, D — начало отсчёта. Координаты в плоскости основания: M'(1; 0), C(2,5; (sqrt(3))/(2)). Тогда: M'C^2 = (2,5 - 1)^2 + ((sqrt(3))/(2))^2 = 1,5^2 + 0,75 = 3 Следовательно, MC^2 = M'C^2 + h^2 = 3 + h^2. По условию MKC = 90^, значит, MK^2 + CK^2 = MC^2: 4 + (h^2)/(4) + 1 + (h^2)/(4) = 3 + h^2 => 5 + (h^2)/(2) = 3 + h^2 => (h^2)/(2) = 2 => h = 2 Искомый угол между плоскостью MKC (она же TCK) и плоскостью основания призмы — это угол между прямой KH и DH, где DH CT. В параллелограмме BCDT площадь равна S = DT * CH_(trap) = 2 * (sqrt(3))/(2) = sqrt(3). В CDT по теореме косинусов: CT^2 = 1^2 + 2^2 - 2 * 1 * 2 * cos 120^ = 5 + 2 = 7 => CT = sqrt(7) Высота DH из D к CT: DH = (S)/(CT) = (sqrt(3))/(sqrt(7)) = sqrt((3)/(7)). Тогда: tg = (KD)/(DH) = (h/2)/(sqrt(3/7)) = (1)/(sqrt(3/7)) = sqrt((7)/(3)) = (sqrt(21))/(3) Ответ: б) (sqrt(21))/(3)

а) доказано б) \( \dfrac{\sqrt{21}}{3} \)