Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60∘.
а) Докажите, что cos∠ASC+cos∠BSC=1,5.
б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC=1, cos∠ASC=32.
Обозначим центр основания конуса через O. Поскольку AB — диаметр окружности основания, O является серединой отрезка AB. Пусть радиус основания равен R, тогда OA=OB=OC=R. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60∘, поэтому для точек A, B, C выполнено: ∠SAO=∠SBO=∠SCO=60∘. В прямоугольных треугольниках SOA, SOB, SOC (где SO⊥ плоскости основания) имеем:
SA=cos60∘OA=1/2R=2R,аналогично SB=SC=2R. Диаметр AB=2R, следовательно, SA=SB=AB=2R, поэтому треугольник SAB равносторонний со стороной a=2R. Для удобства положим a=SA=SB=SC, тогда и AB=a.
а) Применим теорему косинусов к треугольникам ASC и BSC:
AC2=SA2+SC2−2⋅SA⋅SC⋅cos∠ASC=a2+a2−2a2cos∠ASC=2a2(1−cos∠ASC), BC2=SB2+SC2−2⋅SB⋅SC⋅cos∠BSC=a2+a2−2a2cos∠BSC=2a2(1−cos∠BSC).В треугольнике ABC угол ACB опирается на диаметр AB, значит, ∠ACB=90∘, и по теореме Пифагора:
AB2=AC2+BC2.Подставляя выражения для AB, AC2 и BC2, получаем:
a2=2a2(1−cos∠ASC)+2a2(1−cos∠BSC).Делим на a2=0:
1=2(1−cos∠ASC)+2(1−cos∠BSC)=4−2(cos∠ASC+cos∠BSC).Отсюда
2(cos∠ASC+cos∠BSC)=3⇒cos∠ASC+cos∠BSC=23=1,5.**
б)** По условию SC=1 и cos∠ASC=32. Так как все образующие равны, то a=SA=SB=SC=1. Из пункта (а) находим:
cos∠BSC=23−32=69−64=65.Вычислим квадраты длин AC и BC:
AC2=2a2(1−cos∠ASC)=2⋅1⋅(1−32)=32, BC2=2a2(1−cos∠BSC)=2⋅1⋅(1−65)=31.Следовательно, AC=32, BC=31.
Треугольник ABC прямоугольный (∠C=90∘), его площадь:
S△ABC=21⋅AC⋅BC=21⋅32⋅31=21⋅32=62.Высота тетраэдра SABC равна длине отрезка SO, так как SO перпендикулярен плоскости основания. В треугольнике SOA известно: SA=1, ∠SAO=60∘. Отсюда
SO=SA⋅sin60∘=1⋅23=23.Объём тетраэдра:
V=31⋅S△ABC⋅SO=31⋅62⋅23=366.Ответ: 366.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ