Различные точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S так, что отрезок AB является её диаметром. Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60^. а) Докажите, что cos ASC + cos BSC = 1,5. б) Найдите объём тетраэдра SABC, если SC = 1, cos ASC = (2)/(3).

Обозначим центр основания конуса через O . Поскольку AB — диаметр окружности основания, O является серединой отрезка AB . Пусть радиус основания равен R , тогда OA = OB = OC = R . Угол между образующей конуса и плоскостью основания равен 60^, поэтому для точек A , B , C выполнено: SAO = SBO = SCO = 60^ . В прямоугольных треугольниках SOA , SOB , SOC (где SO плоскости основания) имеем: SA = (OA)/(cos 60^) = (R)/(1/2) = 2R, аналогично SB = SC = 2R . Диаметр AB = 2R , следовательно, SA = SB = AB = 2R , поэтому треугольник SAB равносторонний со стороной a = 2R . Для удобства положим a = SA = SB = SC , тогда и AB = a . **а)** Применим теорему косинусов к треугольникам ASC и BSC : AC^2 = SA^2 + SC^2 - 2* SA* SC*cos ASC = a^2 + a^2 - 2a^2cos ASC = 2a^2 (1 - cos ASC), BC^2 = SB^2 + SC^2 - 2* SB* SC*cos BSC = a^2 + a^2 - 2a^2cos BSC = 2a^2 (1 - cos BSC). В треугольнике ABC угол ACB опирается на диаметр AB , значит, ACB = 90^ , и по теореме Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2. Подставляя выражения для AB , AC^2 и BC^2 , получаем: a^2 = 2a^2 (1 - cos ASC) + 2a^2 (1 - cos BSC). Делим на a^2!= 0 : 1 = 2(1 - cos ASC) + 2(1 - cos BSC) = 4 - 2(cos ASC + cos BSC). Отсюда 2(cos ASC + cos BSC) = 3 => cos ASC + cos BSC = (3)/(2) = 1,5. ** б)** По условию SC = 1 и cos ASC = (2)/(3) . Так как все образующие равны, то a = SA = SB = SC = 1 . Из пункта (а) находим: cos BSC = (3)/(2) - (2)/(3) = (9)/(6) - (4)/(6) = (5)/(6). Вычислим квадраты длин AC и BC : AC^2 = 2a^2 (1 - cos ASC) = 2* 1*(1 - (2)/(3)) = (2)/(3), BC^2 = 2a^2 (1 - cos BSC) = 2* 1*(1 - (5)/(6)) = (1)/(3). Следовательно, AC = sqrt((2)/(3)) , BC = sqrt((1)/(3)) . Треугольник ABC прямоугольный ( C = 90^ ), его площадь: S_( ABC) = (1)/(2)* AC* BC = (1)/(2)*sqrt((2)/(3))*sqrt((1)/(3)) = (1)/(2)*(sqrt(2))/(3) = (sqrt(2))/(6). Высота тетраэдра SABC равна длине отрезка SO , так как SO перпендикулярен плоскости основания. В треугольнике SOA известно: SA = 1 , SAO = 60^ . Отсюда SO = SA*sin 60^ = 1*(sqrt(3))/(2) = (sqrt(3))/(2). Объём тетраэдра: V = (1)/(3)* S_( ABC)* SO = (1)/(3)*(sqrt(2))/(6)*(sqrt(3))/(2) = (sqrt(6))/(36). Ответ: (sqrt(6))/(36) .

\(\frac{\sqrt{6}}{36}\)