В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A , B и C , а на окружности другого основания — точка C_1 , причём CC_1 — образующая цилиндра, а AC — диаметр основания. Известно, что ACB = 30^() , AB = sqrt(2) , CC_1 = 2 . а) Докажите, что угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^() . б) Найдите объём цилиндра.

а) Введём точку B_1 на окружности верхнего основания (где лежит C_1) так, чтобы BB_1 была образующей цилиндра. Тогда BB_1 CC_1 и BB_1 = CC_1 = 2, а четырёхугольник BB_1C_1C — прямоугольник. Следовательно, B_1C_1 BC и B_1C_1 = BC. Таким образом, угол между прямыми AC_1 и BC равен углу между AC_1 и B_1C_1, то есть углу AC_1B_1. Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку AC — диаметр основания, ABC = 90^. В нём известны ACB = 30^ и противолежащий этому углу катет AB = sqrt(2). Тогда гипотенуза AC = 2* AB = 2sqrt(2), а второй катет BC = AB*sqrt(3) = sqrt(6). Значит, B_1C_1 = BC = sqrt(6). Докажем, что треугольник AB_1C_1 прямоугольный. Прямая BC перпендикулярна AB (из ABC = 90^) и перпендикулярна BB_1 (образующие перпендикулярны основаниям). Поэтому BC перпендикулярна плоскости ABB_1. Так как B_1C_1 BC, то B_1C_1 также перпендикулярна плоскости ABB_1, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в частности AB_1. Следовательно, AB_1C_1 = 90^. Найдём AB_1. Отрезок AB лежит в плоскости нижнего основания, а BB_1 — перпендикулярная ему образующая. Тогда AB_1 = sqrt(AB^2 + BB_1^2) = sqrt((2)^2 + 2^2) = sqrt(6). В прямоугольном треугольнике AB_1C_1 катеты AB_1 = B_1C_1 = sqrt(6), поэтому он равнобедренный и AC_1B_1 = 45^. Что и требовалось доказать. б) Объём цилиндра вычисляется по формуле V = pi R^2* H, где H — высота, R — радиус основания. Высота H = CC_1 = 2. Радиус R = (AC)/(2) = (2sqrt(2))/(2) = sqrt(2). Следовательно, V = pi* (sqrt(2))^2* 2 = pi* 2* 2 = 4pi. Ответ: а) Угол между прямыми AC_1 и BC равен 45^. б) 4pi.

а) доказано б) \( 4\pi \)