Задача №15220

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{,}$ а на окружности другого основания — точка $C_1\text{,}$ причём $C{C}_1$ — образующая цилиндра, а $AC$ — диаметр основания. Известно, что $\angle ACB=30^{\circ }\text{,}$ $AB=\sqrt{2}\text{,}$ $C{C}_1=2\text{.}$

а) Докажите, что угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен $45^{\circ }\text{.}$

б) Найдите объём цилиндра.

а) Введём точку $B_1$ на окружности верхнего основания (где лежит $C_1$) так, чтобы $B{B}_1$ была образующей цилиндра. Тогда $B{B}_1\parallel C{C}_1$ и $B{B}_1=C{C}_1=2\text{,}$ а четырёхугольник $B{B}_1{C}_{1}C$ — прямоугольник. Следовательно, $B_1{C}_1\parallel BC$ и $B_1{C}_1=BC\text{.}$ Таким образом, угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен углу между $A{C}_1$ и $B_1{C}_1\text{,}$ то есть углу $\angle A{C}_1{B}_1\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABC\text{.}$ Поскольку $AC$ — диаметр основания, $\angle ABC=90^{\circ }\text{.}$ В нём известны $\angle ACB=30^{\circ }$ и противолежащий этому углу катет $AB=\sqrt{2}\text{.}$ Тогда гипотенуза

$$AC=2\cdot AB=2\sqrt{2},$$

а второй катет

$$BC=AB\cdot \sqrt{3}=\sqrt{6}.$$

Значит, $B_1{C}_1=BC=\sqrt{6}\text{.}$

Докажем, что треугольник $A{B}_1{C}_1$ прямоугольный. Прямая $BC$ перпендикулярна $AB$ (из $\angle ABC=90^{\circ }$) и перпендикулярна $B{B}_1$ (образующие перпендикулярны основаниям). Поэтому $BC$ перпендикулярна плоскости $AB{B}_1\text{.}$ Так как $B_1{C}_1\parallel BC\text{,}$ то $B_1{C}_1$ также перпендикулярна плоскости $AB{B}_1\text{,}$ а значит, и любой прямой в этой плоскости, в частности $A{B}_1\text{.}$ Следовательно, $\angle A{B}_1{C}_1=90^{\circ }\text{.}$

Найдём $A{B}_1\text{.}$ Отрезок $AB$ лежит в плоскости нижнего основания, а $B{B}_1$ — перпендикулярная ему образующая. Тогда

$$A{B}_1=\sqrt{A{B}^2+B{B}_1^2}=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+2^2}=\sqrt{6}.$$

В прямоугольном треугольнике $A{B}_1{C}_1$ катеты $A{B}_1=B_1{C}_1=\sqrt{6}\text{,}$ поэтому он равнобедренный и $\angle A{C}_1{B}_1=45^{\circ }\text{.}$ Что и требовалось доказать.

б) Объём цилиндра вычисляется по формуле $V=\pi R^2\cdot H\text{,}$ где $H$ — высота, $R$ — радиус основания.
Высота $H=C{C}_1=2\text{.}$
Радиус $R=\frac{AC}{2}=\frac{2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}\text{.}$
Следовательно,

$$V=\pi \cdot (\sqrt{2}{)}^2\cdot 2=\pi \cdot 2\cdot 2=4\pi .$$

Ответ:
а) Угол между прямыми $A{C}_1$ и $BC$ равен $45^{\circ }\text{.}$

б) $4\pi \text{.}$