Решите неравенство _(0,5)(x^3 - 3x^2 - 9x + 27) _(0,25)(x - 3)^4.

Задача №15213: Неравенства

Преобразуем неравенство:

lo g_{0, 5} (x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27) ⩽ lo g_{0, 25} (x - 3)^{4} .

Заметим, что $0, 25 = (0, 5)^{2},$ поэтому

lo g_{0, 25} (x - 3)^{4} = \frac{lo g _{0, 5} ( x - 3 ) ^{4}}{lo g _{0, 5} 0 , 25} = \frac{4 lo g _{0, 5} ∣ x - 3∣}{2} = 2 lo g_{0, 5} ∣ x - 3∣.

Также разложим кубический многочлен:

x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27 = (x - 3)^{2} (x + 3) .

Тогда неравенство принимает вид:

lo g_{0, 5} ((x - 3)^{2} (x + 3)) ⩽ 2 lo g_{0, 5} ∣ x - 3∣.

Перенесём всё в одну сторону:

lo g_{0, 5} ((x - 3)^{2} (x + 3)) - 2 lo g_{0, 5} ∣ x - 3∣ ⩽ 0.

Используем свойства логарифмов:

lo g_{0, 5} \frac{( x - 3 ) ^{2} ( x + 3 )}{∣ x - 3 ∣ ^{2}} ⩽ 0.

Заметим, что $(x - 3)^{2} = ∣ x - 3 ∣^{2},$ поэтому дробь равна $x + 3 .$ Получаем:

lo g_{0, 5} (x + 3) ⩽ 0.

Так как основание $0, 5 \in (0, 1),$ логарифмическое неравенство равносильно:

x + 3 ⩾ 1.

x ⩾ - 2.

Теперь найдём ОДЗ исходного неравенства:

1) $x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 27 > 0 :$

(x - 3)^{2} (x + 3) > 0 \Rightarrow x + 3 > 0 и x \neq = 3 \Rightarrow x > - 3, x \neq = 3.

2) Основание логарифмов положительно и не равно 1 (выполнено).

3) Для $lo g_{0, 25} (x - 3)^{4}$ выражение $(x - 3)^{4} > 0$ при всех $x \neq = 3,$ что уже учтено.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (- 3, 3) \cup (3, + \infty) .$

С учётом решения $x ⩾ - 2$ и ОДЗ получаем ответ:

Ответ: $x \in [- 2, 3) \cup (3, + \infty) .$