Решите неравенство (_4(64x))/(_4 x - 3) + (_4 x - 3)/(_4(64x)) (_4 x^4 + 16)/(_4^2 x - 9).

ОДЗ: cases x > 0, _4 x!= 3=> x!= 64, _4 x!= -3=> x!=(1)/(64), _4(64x) != 0=> 64x!= 1=> x!=(1)/(64) (уже учтено). cases Упростим выражения: _4(64x) = _4 64 + _4 x = 3 + _4 x. Обозначим t = _4 x, тогда t!=+- 3. Неравенство примет вид: (t+3)/(t-3) + (t-3)/(t+3) (4t + 16)/(t^2 - 9). Заметим, что t^2 - 9 = (t-3)(t+3). Приведём левую часть к общему знаменателю: ((t+3)^2 + (t-3)^2)/((t-3)(t+3)) (4t+16)/((t-3)(t+3)). Умножим обе части на (t-3)(t+3)^2 > 0? Будем осторожны: знак знаменателя может меняться. Перенесём всё в одну сторону: ((t+3)^2 + (t-3)^2 - (4t+16))/((t-3)(t+3)) 0. Вычислим числитель: (t^2+6t+9) + (t^2-6t+9) - 4t - 16 = 2t^2 + 18 - 4t - 16 = 2t^2 - 4t + 2 = 2(t^2 - 2t + 1) = 2(t-1)^2. Получаем: (2(t-1)^2)/((t-3)(t+3)) 0. Числитель всегда неотрицателен, равен нулю при t=1. Знаменатель положителен при tin (-inf; -3) U (3; +inf) и отрицателен при tin (-3; 3). Неравенство выполняется, когда дробь 0, т.е. когда знаменатель > 0 или числитель равен 0. Учитываем, что t!=+- 3. 1. Знаменатель > 0: tin (-inf; -3) U (3; +inf). 2. Числитель = 0: t = 1 (при этом знаменатель отрицателен, дробь равна 0, условие выполнено). Объединяем: tin (-inf; -3) U 1U (3; +inf). Возвращаемся к x = 4^t: - t < -3=> x < 4^(-3) = (1)/(64), но x > 0 по ОДЗ, так что 0 < x < (1)/(64). - t = 1=> x = 4. - t > 3=> x > 64. Исключаем точки разрыва: x!=(1)/(64), 64 — они не входят в полученные интервалы и точку. Ответ: xin (0; (1)/(64)) U 4U (64; +inf).

\((0;1/64)U{4}U(64;+\infty)\)