Задача №15212

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_4(64x)}{{\log }_{4}x-3}+\frac{{\log }_{4}x-3}{{\log }_4(64x)}⩾\frac{{\log }_4{x}^4+16}{{\log }_4^{2}x-9}.$$

ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}x>0,\\ {\log }_{4}x\ne 3\Rightarrow x\ne 64,\\ {\log }_{4}x\ne -3\Rightarrow x\ne \frac{1}{64},\\ {\log }_4(64x)\ne 0\Rightarrow 64x\ne 1\Rightarrow x\ne \frac{1}{64}\text{ (уже учтено)}.\end{array}$$

Упростим выражения:

$${\log }_4(64x)={\log }_{4}64+{\log }_{4}x=3+{\log }_{4}x.$$

Обозначим $t={\log }_{4}x\text{,}$ тогда $t\ne \pm 3\text{.}$ Неравенство примет вид:

$$\frac{t+3}{t-3}+\frac{t-3}{t+3}⩾\frac{4t+16}{t^2-9}.$$

Заметим, что $t^2-9=(t-3)(t+3)\text{.}$ Приведём левую часть к общему знаменателю:

$$\frac{(t+3{)}^2+(t-3{)}^2}{(t-3)(t+3)}⩾\frac{4t+16}{(t-3)(t+3)}.$$

Умножим обе части на $(t-3)(t+3{)}^2>0\text{?}$ Будем осторожны: знак знаменателя может меняться. Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{(t+3{)}^2+(t-3{)}^2-(4t+16)}{(t-3)(t+3)}⩾0.$$

Вычислим числитель:

$$(t^2+6t+9)+(t^2-6t+9)-4t-16=2t^2+18-4t-16=2t^2-4t+2=2(t^2-2t+1)=2(t-1{)}^2.$$

Получаем:

$$\frac{2(t-1{)}^2}{(t-3)(t+3)}⩾0.$$

Числитель всегда неотрицателен, равен нулю при $t=1\text{.}$ Знаменатель положителен при $t\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )$ и отрицателен при $t\in (-3;3)\text{.}$ Неравенство выполняется, когда дробь $⩾0\text{,}$ т.е. когда знаменатель > 0 или числитель равен 0. Учитываем, что $t\ne \pm 3\text{.}$

1. Знаменатель > 0: $t\in (-\infty ;-3)\cup (3;+\infty )\text{.}$

2. Числитель = 0: $t=1$ (при этом знаменатель отрицателен, дробь равна 0, условие выполнено).

Объединяем: $t\in (-\infty ;-3)\cup \{1\}\cup (3;+\infty )\text{.}$

Возвращаемся к $x=4^t\text{:}$

• $t<-3\Rightarrow x<4^{-3}=\frac{1}{64}\text{,}$ но $x>0$ по ОДЗ, так что $0<x<\frac{1}{64}\text{.}$

• $t=1\Rightarrow x=4\text{.}$

• $t>3\Rightarrow x>64\text{.}$

Исключаем точки разрыва: $x\ne \frac{1}{64},64$ — они не входят в полученные интервалы и точку.

Ответ: $x\in (0;\frac{1}{64})\cup \{4\}\cup (64;+\infty )\text{.}$