Задача №15211

Решите неравенство ${\log }_2^2(x^2-9)-9{\log }_2(x^2-9)+20⩾0\text{.}$

Сделаем замену $t={\log }_2(x^2-9)\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

Корни квадратного трёхчлена: $t_1=4\text{,}$ $t_2=5\text{.}$ Так как коэффициент при $t^2$ положителен, неравенство выполняется при $t⩽4$ или $t⩾5\text{.}$ Возвращаемся к исходной переменной:

1. ${\log }_2(x^2-9)⩽4\text{.}$ Учитывая ОДЗ: $x^2-9>0\Rightarrow x<-3$ или $x>3\text{.}$ Тогда:

Пересекая с ОДЗ, получаем: $x\in [-5;-3)\cup (3;5]\text{.}$

2. ${\log }_2(x^2-9)⩾5\text{.}$ Тогда:

Пересекаем с ОДЗ: $x\in (-\infty ;-\sqrt{41}]\cup [\sqrt{41};+\infty )\text{.}$

Ответ: $x\in (-\infty ;-\sqrt{41}]\cup [-5;-3)\cup (3;5]\cup [\sqrt{41};+\infty )\text{.}$