Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ
Дана правильная четырёхугольная призма ABCDA1B1C1D1. Плоскость α проходит через вершины B1 и D и пересекает рёбра AA1 и CC1 в точках M и K соответственно. Известно, что четырёхугольник MB1KD — ромб.
а) Докажите, что точка M — середина ребра AA1.
б) Найдите высоту призмы ABCDA1B1C1D1, если площадь её основания ABCD равна 3, а площадь ромба MB1KD равна 6.
а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A(0;0;0). Пусть сторона основания призмы равна a, а высота равна h. Тогда вершины имеют координаты: A(0;0;0), B(a;0;0), D(0;a;0), B1(a;0;h).
Точка M лежит на ребре AA1, значит, её координаты M(0;0;z), где 0⩽z⩽h. Четырёхугольник MB1KD — ромб, следовательно, его стороны равны, в частности DM=MB1.
DM=(0−0)2+(a−0)2+(0−z)2=a2+z2 MB1=(a−0)2+(0−0)2+(h−z)2=a2+(h−z)2Из равенства DM=MB1 имеем:
a2+z2=a2+(h−z)2⇒z2=h2−2hz+z2⇒2hz=h2⇒z=2hТак как координата z точки M равна 2h, точка M является серединой ребра AA1.
б) Точка K лежит на ребре CC1, её координаты K(a;a;zK). Из равенства сторон ромба DK=B1K аналогично пункту а) получаем zK=2h.
Диагонали ромба MB1KD — это отрезки MK и DB1. Найдём их длины:
MK=(a−0)2+(a−0)2+(2h−2h)2=2a2=a2 DB1=(a−0)2+(0−a)2+(h−0)2=2a2+h2Площадь ромба вычисляется по формуле S=21⋅d1⋅d2. По условию S=6, а площадь основания SABCD=a2=3.
6=21⋅a2⋅2a2+h2 12=3⋅2⋅2⋅3+h2 12=6⋅6+h2Возведём обе части уравнения в квадрат:
144=6(6+h2)⇒24=6+h2⇒h2=18⇒h=18=32Ответ: 32