В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD = 3 и BC = 2. Точка M делит ребро A_1D_1 в отношении A_1M : MD_1 = 1 : 2, а точка K — середина ребра DD_1. а) Докажите, что плоскость MKC делит отрезок BB_1 пополам. б) Найдите площадь сечения призмы плоскостью MKC, если MKC = 90^ , ADC = 60^ .

а) Пусть высота призмы равна 2h . Тогда DD_1 = BB_1 = 2h . Поскольку K — середина DD_1 , имеем DK = KD_1 = h . Рассмотрим плоскости (ADD_1) и (BCC_1) . Так как AD BC (основания трапеции) и боковые рёбра прямой призмы параллельны, эти плоскости параллельны. Плоскость MKC пересекает параллельные плоскости по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения плоскости MKC с гранью BCC_1B_1 параллельна прямой MK . Пусть эта линия пересекает ребро BB_1 в точке L . Тогда CL MK . Рассмотрим проекции этих отрезков на плоскость основания. Проекцией MK является отрезок AD (или его часть), а проекцией CL — отрезок BC . Отношение вертикального подъёма к горизонтальному пробегу для параллельных прямых должно быть одинаковым. В плоскости (ADD_1) точка M находится на расстоянии MD_1 = (2)/(3) A_1D_1 = 2 от прямой DD_1 , а разность высот z_M - z_K = 2h - h = h . В плоскости (BCC_1) точка C находится на расстоянии BC = 2 от прямой BB_1 . Чтобы прямая CL была параллельна MK , разность высот z_L - z_C должна быть такой же, как у MK при одинаковом горизонтальном расстоянии. Таким образом, z_L - 0 = h , откуда z_L = h . Поскольку h — это половина ребра BB_1 , точка L является его серединой. Что и требовалось доказать. б) Введём систему координат с началом в точке D(0; 0; 0) . Тогда A(3; 0; 0) , D_1(0; 0; 2h) , A_1(3; 0; 2h) . По условию A_1M : MD_1 = 1 : 2 , значит M(2; 0; 2h) . Точка K(0; 0; h) . В равнобедренной трапеции с основаниями 3 и 2 высота CH_D = (3 - 2)/(2) * tg 60^ = 0,5 * sqrt(3) = (sqrt(3))/(2). Координаты вершины C( 0,5; (sqrt(3))/(2); 0 ) . Найдём h из условия MKC = 90^ , используя векторы KM = (2; 0; h) и KC = ( 0,5; (sqrt(3))/(2); -h ) : KM * KC = 2 * 0,5 + 0 * (sqrt(3))/(2) + h(-h) = 1 - h^2 = 0 => h = 1. Высота призмы H = 2 . Уравнение плоскости MKC задаётся вектором нормали n = KM * KC : n = vmatrix i & j & k 2 & 0 & 1 0,5 & (sqrt(3))/(2) & -1 vmatrix = ( -(sqrt(3))/(2); 2,5; sqrt(3) ). Угол gamma между плоскостью сечения и основанием: cos gamma = (|n_z|)/(|n|) = (sqrt(3))/(sqrt(34 + 6,25 + 3)) = (sqrt(3))/(sqrt(10)). Сечение является пятиугольником CKMNL . Его проекция на основание — пятиугольник с вершинами K'(0; 0) , M'(2; 0) , N'( (17)/(6); (sqrt(3))/(6) ) , L'( 2,5; (sqrt(3))/(2) ) , C'( 0,5; (sqrt(3))/(2) ) . Площадь проекции по формуле Гаусса (shoelace): S_(proj) = (1)/(2) | ( 0 + (sqrt(3))/(3) + (17sqrt(3))/(12) + (15sqrt(3))/(12) + 0 ) - ( 0 + 0 + (5sqrt(3))/(12) + (3sqrt(3))/(12) + 0 ) | = (1)/(2) | 3sqrt(3) - (2sqrt(3))/(3) | = (7sqrt(3))/(6). Площадь сечения: S = (S_(proj))/(cos gamma) = (7sqrt(3))/(6) * (sqrt(10))/(sqrt(3)) = (7sqrt(10))/(6). Ответ: а) доказано б) (7sqrt(10))/(6)

а) Доказано б) \( \dfrac{7\sqrt{10}}{6} \)