На рёбрах BC, AB и AD правильного тетраэдра ABCD отмечены точки L, M и N соответственно. Известно, что BL:LC=AM:MB=AN:ND=1:2. а) Докажите, что плоскость alpha, проходящая через точки L, M и N, делит ребро CD в отношении 2:1, считая от вершины C. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью alpha, если AB=6.

а) Построим сечение тетраэдра плоскостью α, проходящей через точки L, M, N. Проведём прямую ML. Пусть она пересекает прямую AC в точке F. Тогда плоскость α содержит прямую ML и точку N, поэтому она содержит и прямую NF. Пусть прямая NF пересекает ребро CD в точке P. Искомое сечение – четырёхугольник MNPL. Применим теорему Менелая к треугольнику ABC и секущей ML (точки M на AB, L на BC, F на AC): (AM)/(MB)*(BL)/(LC)*(CF)/(FA) = 1. По условию AM:MB = 1:2 и BL:LC = 1:2 , поэтому (1)/(2)*(1)/(2)*(CF)/(FA) = 1 => (CF)/(FA) = 4. Следовательно, CF = 4FA , откуда (AF)/(FC) = (1)/(4) . Теперь рассмотрим треугольник ADC и секущую FP, проходящую через точки F (на AC), N (на AD) и P (на CD). По теореме Менелая: (AF)/(FC)*(CP)/(PD)*(DN)/(NA) = 1. Из условия AN:ND = 1:2 получаем DN:NA = 2:1 , т.е. (DN)/(NA) = 2 . Подставляем известные отношения: (1)/(4)*(CP)/(PD)* 2 = 1 => (CP)/(PD)*(1)/(2) = 1 => (CP)/(PD) = 2. Таким образом, точка P делит ребро CD в отношении CP:PD = 2:1 , считая от вершины C. Что и требовалось доказать. б) Пусть ребро тетраэдра AB = 6 , тогда все рёбра равны 6. Из данных отношений находим длины отрезков: AM = 2, MB = 4; AN = 2, ND = 4; BL = 2, LC = 4. 1. Отрезок MN. Треугольники ANM и ADB имеют общий угол A , и (AN)/(AD) = (2)/(6) = (1)/(3), (AM)/(AB) = (2)/(6) = (1)/(3). Следовательно, эти треугольники подобны с коэффициентом (1)/(3) . Поэтому MN DB и MN = (1)/(3) DB = (1)/(3)* 6 = 2. 2. Отрезок PL. Из пункта (а) имеем CP:PD = 2:1 , значит CP = 4, PD = 2 . Треугольники CPL и CDB имеют общий угол C , и (CL)/(CB) = (4)/(6) = (2)/(3), (CP)/(CD) = (4)/(6) = (2)/(3). Поэтому треугольники подобны, откуда PL DB и PL = (2)/(3) DB = (2)/(3)* 6 = 4. 3. Боковые стороны ML и NP. В треугольнике MBL : MB = 4, BL = 2 , угол MBL = 60^ (в правильном тетраэдре все плоские углы равны 60°). По теореме косинусов: ML^2 = MB^2 + BL^2 - 2* MB* BL*cos 60^ = 16 + 4 - 2* 4* 2*(1)/(2) = 20 - 8 = 12, откуда ML = sqrt(12) = 2sqrt(3) . В треугольнике NDP : ND = 4, DP = 2 , угол NDP = 60^ . Аналогично: NP^2 = 4^2 + 2^2 - 2* 4* 2*(1)/(2) = 16 + 4 - 8 = 12, поэтому NP = sqrt(12) = 2sqrt(3) . Таким образом, ML = NP = 2sqrt(3) . 4. Характеристика сечения. Поскольку MN DB и PL DB , то MN PL . Четырёхугольник MNPL – трапеция с основаниями MN = 2 , PL = 4 и равными боковыми сторонами ML = NP = 2sqrt(3) , т.е. равнобокая трапеция. 5. Площадь трапеции. Опустим высоту MH на основание PL . В равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований: HL = (PL - MN)/(2) = (4 - 2)/(2) = 1. Из прямоугольного треугольника MHL ( MH L = 90^ ) находим высоту: MH = sqrt(ML^2 - HL^2) = sqrt((23)^2 - 1^2) = sqrt(12 - 1) = sqrt(11). Площадь трапеции: S = (MN + PL)/(2)* MH = (2 + 4)/(2)*sqrt(11) = 3sqrt(11). Ответ: 3sqrt(11) .

\( 3\sqrt{11} \)