Точка M — середина бокового ребра SC правильной четырёхугольной пирамиды SABCD. Точка N лежит на стороне основания BC. Плоскость alpha проходит через точки M и N параллельно боковому ребру SA. а) Плоскость alpha пересекает боковое ребро SD в точке L. Докажите, что BN:NC = DL:LS. б) Плоскость alpha делит пирамиду SABCD на два многогранника. Найдите отношение их объёмов, если BN:NC = 1:3.

а) Пусть O — центр основания пирамиды (точка пересечения диагоналей квадрата ABCD). В треугольнике SAC отрезок MO является средней линией, так как M — середина SC, а O — середина AC. Следовательно, MO SA. Поскольку плоскость alpha проходит через точку M параллельно ребру SA, то прямая MO, параллельная SA и проходящая через M, целиком лежит в плоскости alpha. Значит, точка O принадлежит alpha. Плоскость alpha пересекает плоскость основания по прямой NO. Пусть эта прямая пересекает сторону AD в точке P. В плоскости SAD через точку P проведём прямую, параллельную SA. По условию плоскость alpha параллельна SA, поэтому линия её пересечения с гранью SAD параллельна SA. Значит, эта линия — PL, где L лежит на ребре SD и PL SA. В треугольнике SAD по теореме Фалеса (или из подобия треугольников PDL и ADS) получаем: (DL)/(LS) = (DP)/(PA) В квадрате ABCD прямая NOP проходит через центр O. При центральной симметрии относительно O отрезок BC переходит в DA, а точка N — в точку P. Следовательно, BN = DP и NC = PA. Таким образом, (BN)/(NC) = (DP)/(PA) Из этих равенств следует, что BN:NC = DL:LS, что и требовалось доказать. б) Пусть сторона основания равна a, а высота пирамиды равна H. Тогда объём пирамиды V = (1)/(3)a^2H По условию BN:NC = 1:3, значит BN = (1)/(4)a, NC = (3)/(4)a. Из пункта а) следует, что DL:LS = 1:3, то есть DL = (1)/(4)SD. Рассмотрим сечение MNLP. Пусть прямые ML и CD пересекаются в точке X. Из теоремы Менелая для треугольника SCD и прямой MXL имеем: (SM)/(MC) * (CX)/(XD) * (DL)/(LS) = 1 => 1 * (CX)/(XD) * (1)/(3) = 1 => CX = 3XD Так как CD = CX - XD = 2XD, получаем XD = (1)/(2)a, а CX = (3)/(2)a. Многогранник, содержащий вершины C и D, — это CDPNML. Его объём V_1 можно вычислить как разность объёмов пирамид X-MCN и X-LDP. Эти пирамиды имеют высоты, равные расстояниям от M и L до плоскости основания, то есть (1)/(2)H и (1)/(4)H соответственно. Площади их оснований (треугольников в плоскости ABCD): S_(XCN) = (1)/(2) * CX * NC = (1)/(2) * (3)/(2)a * (3)/(4)a = (9)/(16)a^2 S_(XDP) = (1)/(2) * XD * DP = (1)/(2) * (1)/(2)a * (1)/(4)a = (1)/(16)a^2 Тогда: V_1 = (1)/(3) * (9)/(16)a^2 * (1)/(2)H - (1)/(3) * (1)/(16)a^2 * (1)/(4)H = (3)/(32)a^2H - (1)/(192)a^2H = (18-1)/(192)a^2H = (17)/(192)a^2H Поскольку V = (1)/(3)a^2H = (64)/(192)a^2H, то объём второй части равен: V_2 = V - V_1 = (64)/(192)a^2H - (17)/(192)a^2H = (47)/(192)a^2H Отношение объёмов равно 17:47. Ответ: 17:47

а) доказано б) 17:47