Решите неравенство 2_2(xsqrt(5)) - _2((x)/(1-x)) _2(5x^2 + (1)/(x) - 2).

Найдём ОДЗ: cases x > 0, 1 - x > 0, 5x^2 + (1)/(x) - 2 > 0. cases <=> cases 0 < x < 1, 5x^2 + (1)/(x) - 2 > 0. cases Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов: _2(xsqrt(5))^2 - _2(x)/(1-x)_2(5x^2 + (1)/(x) - 2), _2(5x^2(1-x))/(x)_2(5x^2 + (1)/(x) - 2), _2(5x(1-x)) _2(5x^2 + (1)/(x) - 2). Так как основание логарифма больше 1, получаем: 5x(1-x) 5x^2 + (1)/(x) - 2. Умножим обе части на x > 0: 5x^2(1-x) 5x^3 + 1 - 2x, 5x^2 - 5x^3 5x^3 + 1 - 2x, 0 10x^3 - 5x^2 - 2x + 1. Разложим на множители: 10x^3 - 5x^2 - 2x + 1 = (2x-1)(5x^2 - 1) = (2x-1)(sqrt(5)x - 1)(sqrt(5)x + 1). Решаем неравенство (2x-1)(sqrt(5)x - 1)(sqrt(5)x + 1) 0 на интервале 0 < x < 1. Корни: x_1 = (1)/(2), x_2 = (1)/(sqrt(5))~ 0.447, x_3 = -(1)/(sqrt(5)) (не входит в ОДЗ). Расставляем знаки на интервале (0,1): - на (0, (1)/(sqrt(5))): 2x-1 < 0, sqrt(5)x - 1 < 0, sqrt(5)x + 1 > 0 ⇒ произведение положительно; - на ((1)/(sqrt(5)), (1)/(2)): 2x-1 < 0, sqrt(5)x - 1 > 0, sqrt(5)x + 1 > 0 ⇒ произведение отрицательно; - на ((1)/(2), 1): 2x-1 > 0, sqrt(5)x - 1 > 0, sqrt(5)x + 1 > 0 ⇒ произведение положительно. Таким образом, неравенство выполняется при xin(0, (1)/(sqrt(5))] U[(1)/(2), 1). Учитываем условие 5x^2 + (1)/(x) - 2 > 0. Проверим границы: - При x = (1)/(sqrt(5)): 5*(1)/(5) + sqrt(5) - 2 = 1 + sqrt(5) - 2 = sqrt(5) - 1 > 0 ⇒ включаем. - При x = (1)/(2): 5*(1)/(4) + 2 - 2 = 1.25 > 0 ⇒ включаем. - При x 0^+: 5x^2 + (1)/(x) - 2 +inf ⇒ условие выполняется. - При x 1^-: 5 + 1 - 2 = 4 > 0 ⇒ условие выполняется. Ответ: xin(0, (1)/(sqrt(5))] U[(1)/(2), 1).

\( \left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}\right] \cup\left[\frac{1}{2}, 1\right) \)