Задача №15206

Решите неравенство $2{\log }_2(x\sqrt{5})-{\log }_2\left(\frac{x}{1-x}\right)⩽{\log }_2\left(5x^2+\frac{1}{x}-2\right)\text{.}$

Найдём ОДЗ:

Преобразуем неравенство, используя свойства логарифмов:

Так как основание логарифма больше 1, получаем:

Умножим обе части на $x>0\text{:}$

Разложим на множители:

Решаем неравенство $(2x-1)(\sqrt{5}x-1)(\sqrt{5}x+1)⩾0$ на интервале $0<x<1\text{.}$ Корни: $x_1=\frac{1}{2}\text{,}$ $x_2=\frac{1}{\sqrt{5}}\approx 0.447\text{,}$ $x_3=-\frac{1}{\sqrt{5}}$ (не входит в ОДЗ). Расставляем знаки на интервале $(0,1)\text{:}$

• на $(0,\frac{1}{\sqrt{5}})\text{:}$ $2x-1<0\text{,}$ $\sqrt{5}x-1<0\text{,}$ $\sqrt{5}x+1>0$ ⇒ произведение положительно;
• на $(\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{1}{2})\text{:}$ $2x-1<0\text{,}$ $\sqrt{5}x-1>0\text{,}$ $\sqrt{5}x+1>0$ ⇒ произведение отрицательно;
• на $(\frac{1}{2},1)\text{:}$ $2x-1>0\text{,}$ $\sqrt{5}x-1>0\text{,}$ $\sqrt{5}x+1>0$ ⇒ произведение положительно.
  Таким образом, неравенство выполняется при $x\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{5}}\right]\cup \left[\frac{1}{2},1\right)\text{.}$ Учитываем условие $5x^2+\frac{1}{x}-2>0\text{.}$ Проверим границы:
• При $x=\frac{1}{\sqrt{5}}\text{:}$ $5\cdot \frac{1}{5}+\sqrt{5}-2=1+\sqrt{5}-2=\sqrt{5}-1>0$ ⇒ включаем.
• При $x=\frac{1}{2}\text{:}$ $5\cdot \frac{1}{4}+2-2=1.25>0$ ⇒ включаем.
• При $x\to 0^{+}\text{:}$ $5x^2+\frac{1}{x}-2\to +\infty$ ⇒ условие выполняется.
• При $x\to 1^{-}\text{:}$ $5+1-2=4>0$ ⇒ условие выполняется.

Ответ: $x\in \left(0,\frac{1}{\sqrt{5}}\right]\cup \left[\frac{1}{2},1\right)\text{.}$