Плоскость alpha перпендикулярна плоскости основания ABCD правильной четырёхугольной пирамиды SABCD и пересекает ребро SA в точке K. Сечение пирамиды плоскостью alpha является правильным треугольником площадью 4sqrt(3). а) Докажите, что плоскость alpha перпендикулярна прямой AC. б) В каком отношении точка K делит ребро SA, считая от точки S, если объём пирамиды равен 18sqrt(3)?

а) Так как сечение пирамиды плоскостью alpha — треугольник и плоскость alpha проходит через точку K на ребре SA, то в грани SAB линия сечения проходит через K и пересекает сторону AB (иначе при пересечении стороны SB плоскость alpha пересекала бы и соседнюю грань, и сечение имело бы более трёх сторон). Аналогично, в грани SAD линия сечения пересекает сторону AD. Обозначим L = alphan AB, M = alphan AD. Тогда сечение — треугольник KLM, причём по условию он правильный. Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из K на плоскость основания ABCD. Так как alpha (ABCD), то прямая KH(ABCD) лежит в плоскости alpha, следовательно, точка H(ABCD)=LM. Поскольку Kin SA, ортогональная проекция точки K на основание лежит на проекции ребра SA на основание, то есть на отрезке AO. Значит, Hin AOc AC. В правильном треугольнике KLM высота из вершины K перпендикулярна LM и проходит через середину LM. Но KH(ABCD), значит KH LM; следовательно, KH и есть эта высота, а потому H — середина LM, то есть LH=HM. Так как Lin AB и Min AD, то LAM = BAD = 90^, а диагональ AC является биссектрисой угла BAD. Поскольку Hin AC, прямая AH — биссектриса угла LAM. По теореме о биссектрисе в треугольнике ALM: (LH)/(HM)=(AL)/(AM). Но LH=HM, значит AL=AM, то есть треугольник ALM равнобедренный. Тогда биссектриса AH является также высотой, следовательно, AH LM. Итак, AC (содержащая AH) перпендикулярна прямой LM, лежащей в плоскости alpha. Кроме того, KH(ABCD), а ACc(ABCD), значит KH AC. Прямые LM и KH пересекаются и лежат в плоскости alpha, поэтому AC. б) Пусть сторона правильного треугольника KLM равна x. Тогда (sqrt(3))/(4)x^2 = 4sqrt(3)=> x^2=16=> x=4. Значит, LM=4, а H — середина LM, поэтому HL=HM=2. Из пункта а) и рассуждений выше AL=AM, а LAM=90^. Следовательно, в прямоугольном равнобедренном треугольнике ALM: LM^2 = AL^2+AM^2 = 2AL^2=> 16=2AL^2=> AL=AM=2sqrt(2). Высота AH к гипотенузе в треугольнике ALM: AH = (AL* AM)/(LM) = ((2sqrt(2))*(2sqrt(2)))/(4)=2. Высота правильного треугольника KLM: KH = (sqrt(3))/(2)* 4 = 2sqrt(3). Рассмотрим треугольники AKH и ASO. Они прямоугольные (KH(ABCD) и SO(ABCD)), причём KAH = SAO (так как AK AS и AH AO). Значит, AKH ASO. Пусть k=(AK)/(AS). Тогда (AH)/(AO)=k, (KH)/(SO)=k. Отсюда AO=(AH)/(k)=(2)/(k), SO=(KH)/(k)=(2sqrt(3))/(k). Но AO — половина диагонали квадрата основания: AO=(asqrt(2))/(2). Тогда (asqrt(2))/(2)=(2)/(k)=> a=(2sqrt(2))/(k). Объём пирамиды V=(1)/(3)a^2* SO = (1)/(3)((2sqrt(2))/(k))^2*(2sqrt(3))/(k)=(16sqrt(3))/(3k^3). По условию V=18sqrt(3), значит (16sqrt(3))/(3k^3)=18sqrt(3)=>(16)/(3k^3)=18=> k^3=(8)/(27)=> k=(2)/(3). Тогда (AK)/(AS)=(2)/(3), следовательно, (SK)/(AS)=1-(2)/(3)=(1)/(3), то есть SK:KA = (1)/(3)AS : (2)/(3)AS = 1:2. Ответ: SK:KA = 1:2

\(\text{а) }\alpha\perp AC\) \(\text{б) }1:2\)