Задача №15205

Плоскость $\alpha$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$ правильной четырёхугольной пирамиды $SABCD$ и пересекает ребро $SA$ в точке $K\text{.}$ Сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ является правильным треугольником площадью $4\sqrt{3}\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $AC\text{.}$

б) В каком отношении точка $K$ делит ребро $SA\text{,}$ считая от точки $S\text{,}$ если объём пирамиды равен $18\sqrt{3}\text{?}$

а) Так как сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ — треугольник и плоскость $\alpha$ проходит через точку $K$ на ребре $SA\text{,}$ то в грани $SAB$ линия сечения проходит через $K$ и пересекает сторону $AB$ (иначе при пересечении стороны $SB$ плоскость $\alpha$ пересекала бы и соседнюю грань, и сечение имело бы более трёх сторон). Аналогично, в грани $SAD$ линия сечения пересекает сторону $AD\text{.}$ Обозначим

$$L=\alpha \cap AB,M=\alpha \cap AD.$$

Тогда сечение — треугольник $KLM\text{,}$ причём по условию он правильный.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из $K$ на плоскость основания $ABCD\text{.}$ Так как $\alpha \perp (ABCD)\text{,}$ то прямая $KH\perp (ABCD)$ лежит в плоскости $\alpha \text{,}$ следовательно, точка $H\in \alpha \cap (ABCD)=LM\text{.}$

Поскольку $K\in SA\text{,}$ ортогональная проекция точки $K$ на основание лежит на проекции ребра $SA$ на основание, то есть на отрезке $AO\text{.}$ Значит, $H\in AO\subset AC\text{.}$

В правильном треугольнике $KLM$ высота из вершины $K$ перпендикулярна $LM$ и проходит через середину $LM\text{.}$ Но $KH\perp (ABCD)\text{,}$ значит $KH\perp LM\text{;}$ следовательно, $KH$ и есть эта высота, а потому $H$ — середина $LM\text{,}$ то есть $LH=HM\text{.}$

Так как $L\in AB$ и $M\in AD\text{,}$ то $\angle LAM=\angle BAD=90^{\circ }\text{,}$ а диагональ $AC$ является биссектрисой угла $BAD\text{.}$ Поскольку $H\in AC\text{,}$ прямая $AH$ — биссектриса угла $\angle LAM\text{.}$ По теореме о биссектрисе в треугольнике $ALM\text{:}$

$$\frac{LH}{HM}=\frac{AL}{AM}.$$

Но $LH=HM\text{,}$ значит $AL=AM\text{,}$ то есть треугольник $ALM$ равнобедренный. Тогда биссектриса $AH$ является также высотой, следовательно, $AH\perp LM\text{.}$

Итак, $AC$ (содержащая $AH$) перпендикулярна прямой $LM\text{,}$ лежащей в плоскости $\alpha \text{.}$ Кроме того, $KH\perp (ABCD)\text{,}$ а $AC\subset (ABCD)\text{,}$ значит $KH\perp AC\text{.}$ Прямые $LM$ и $KH$ пересекаются и лежат в плоскости $\alpha \text{,}$ поэтому

$$AC\perp \alpha .$$

б) Пусть сторона правильного треугольника $KLM$ равна $x\text{.}$ Тогда

$$\frac{\sqrt{3}}{4}{x}^2=4\sqrt{3}\Rightarrow x^2=16\Rightarrow x=4.$$

Значит, $LM=4\text{,}$ а $H$ — середина $LM\text{,}$ поэтому $HL=HM=2\text{.}$

Из пункта а) и рассуждений выше $AL=AM\text{,}$ а $\angle LAM=90^{\circ }\text{.}$ Следовательно, в прямоугольном равнобедренном треугольнике $ALM\text{:}$

$$L{M}^2=A{L}^2+A{M}^2=2A{L}^2\Rightarrow 16=2A{L}^2\Rightarrow AL=AM=2\sqrt{2}.$$

Высота $AH$ к гипотенузе в треугольнике $ALM\text{:}$

$$AH=\frac{AL\cdot AM}{LM}=\frac{(2\sqrt{2})\cdot (2\sqrt{2})}{4}=2.$$

Высота правильного треугольника $KLM\text{:}$

$$KH=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 4=2\sqrt{3}.$$

Рассмотрим треугольники $AKH$ и $ASO\text{.}$ Они прямоугольные ($KH\perp (ABCD)$ и $SO\perp (ABCD)$), причём $\angle KAH=\angle SAO$ (так как $AK\parallel AS$ и $AH\parallel AO$). Значит, $△AKH\sim △ASO\text{.}$

Пусть $k=\frac{AK}{AS}\text{.}$ Тогда

$$\frac{AH}{AO}=k,\frac{KH}{SO}=k.$$

Отсюда

$$AO=\frac{AH}{k}=\frac{2}{k},SO=\frac{KH}{k}=\frac{2\sqrt{3}}{k}.$$

Но $AO$ — половина диагонали квадрата основания: $AO=\frac{a\sqrt{2}}{2}\text{.}$ Тогда

$$\frac{a\sqrt{2}}{2}=\frac{2}{k}\Rightarrow a=\frac{2\sqrt{2}}{k}.$$

Объём пирамиды

$$V=\frac{1}{3}{a}^2\cdot SO=\frac{1}{3}{\left(\frac{2\sqrt{2}}{k}\right)}^2\cdot \frac{2\sqrt{3}}{k}=\frac{16\sqrt{3}}{3k^3}.$$

По условию $V=18\sqrt{3}\text{,}$ значит

$$\frac{16\sqrt{3}}{3k^3}=18\sqrt{3}\Rightarrow \frac{16}{3k^3}=18\Rightarrow k^3=\frac{8}{27}\Rightarrow k=\frac{2}{3}.$$

Тогда $\frac{AK}{AS}=\frac{2}{3}\text{,}$ следовательно, $\frac{SK}{AS}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}\text{,}$ то есть

$$SK:KA=\frac{1}{3}AS:\frac{2}{3}AS=1:2.$$

Ответ: $SK:KA=1:2$