Задача №15204

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_{2}32x}{{\log }_{2}x-5}+\frac{{\log }_{2}x-5}{{\log }_{2}32x}\ge \frac{{\log }_2{x}^{16}+18}{{\log }_2^{2}x-25}.$$

Обозначим $t={\log }_{2}x\text{.}$ Тогда ${\log }_{2}32x={\log }_{2}32+{\log }_{2}x=5+t\text{.}$ Также ${\log }_2{x}^{16}=16{\log }_{2}x=16t\text{.}$ Подставим в неравенство:

$$\frac{5+t}{t-5}+\frac{t-5}{5+t}\ge \frac{16t+18}{t^2-25}.$$

Заметим, что $t^2-25=(t-5)(t+5)\text{.}$ Приведём левую часть к общему знаменателю $(t-5)(t+5)\text{:}$

$$\frac{(5+t{)}^2+(t-5{)}^2}{(t-5)(t+5)}\ge \frac{16t+18}{t^2-25}.$$

Упростим числитель: $(5+t{)}^2+(t-5{)}^2=(t^2+10t+25)+(t^2-10t+25)=2t^2+50\text{.}$ Тогда неравенство принимает вид:

$$\frac{2t^2+50}{(t-5)(t+5)}\ge \frac{16t+18}{(t-5)(t+5)}.$$

Умножим обе части на $(t-5)(t+5)\text{,}$ учитывая знак знаменателя. Найдём ОДЗ: $t\ne \pm 5\text{,}$ т.е. $x\ne 2^5=32$ и $x\ne 2^{-5}=\frac{1}{32}\text{,}$ а также $x>0$ (так как логарифм определён). Рассмотрим два случая.

1) Если $(t-5)(t+5)>0\text{,}$ т.е. $t<-5$ или $t>5\text{,}$ то знак неравенства сохраняется:

$$2t^2+50\ge 16t+18\iff 2t^2-16t+32\ge 0\iff t^2-8t+16\ge 0\iff (t-4{)}^2\ge 0.$$

Это верно при всех $t\text{.}$ Учитывая область $(t-5)(t+5)>0\text{,}$ получаем $t<-5$ или $t>5\text{.}$

2) Если $(t-5)(t+5)<0\text{,}$ т.е. $-5<t<5\text{,}$ то при умножении знак неравенства меняется:

$$2t^2+50\le 16t+18\iff (t-4{)}^2\le 0.$$

Квадрат неотрицателен, поэтому равенство возможно только при $t=4\text{.}$ Проверим, входит ли $t=4$ в промежуток $(-5,5)\text{:}$ да, входит.

Объединим решения: из первого случая $t<-5$ или $t>5\text{,}$ из второго случая $t=4\text{.}$ Также помним ОДЗ: $t\ne \pm 5\text{.}$ Таким образом, $t\in (-\infty ,-5)\cup \{4\}\cup (5,+\infty )\text{.}$

Вернёмся к $x\text{:}$ $t={\log }_{2}x\text{.}$

• $t<-5\text{:}$ ${\log }_{2}x<-5$ $\Rightarrow$ $0<x<2^{-5}=\frac{1}{32}\text{.}$
• $t=4\text{:}$ ${\log }_{2}x=4$ $\Rightarrow$ $x=16\text{.}$
• $t>5\text{:}$ ${\log }_{2}x>5$ $\Rightarrow$ $x>32\text{.}$

Учитывая, что $x>0$ и $x\ne \frac{1}{32},32$ (они не входят в полученные множества), Ответ: $x\in \left(0,\frac{1}{32}\right)\cup \{16\}\cup (32,+\infty )\text{.}$