Решите неравенство (_2 32x)/(_2 x - 5) + (_2 x - 5)/(_2 32x)>=(_2 x^(16) + 18)/(_2^2 x - 25).

Обозначим t = _2 x . Тогда _2 32x = _2 32 + _2 x = 5 + t. Также _2 x^(16) = 16_2 x = 16t. Подставим в неравенство: (5+t)/(t-5) + (t-5)/(5+t)>=(16t + 18)/(t^2 - 25). Заметим, что t^2 - 25 = (t-5)(t+5) . Приведём левую часть к общему знаменателю (t-5)(t+5): ((5+t)^2 + (t-5)^2)/((t-5)(t+5))>=(16t+18)/(t^2-25). Упростим числитель: (5+t)^2+(t-5)^2 = (t^2+10t+25)+(t^2-10t+25)=2t^2+50. Тогда неравенство принимает вид: (2t^2+50)/((t-5)(t+5))>=(16t+18)/((t-5)(t+5)). Умножим обе части на (t-5)(t+5), учитывая знак знаменателя. Найдём ОДЗ: t!=+- 5 , т.е. x!= 2^5 = 32 и x!= 2^(-5) = (1)/(32) , а также x > 0 (так как логарифм определён). Рассмотрим два случая. 1) Если (t-5)(t+5) > 0, т.е. t < -5 или t > 5 , то знак неравенства сохраняется: 2t^2+50>= 16t+18 <=> 2t^2 - 16t + 32>= 0 <=> t^2 - 8t + 16>= 0 <=> (t-4)^2>= 0. Это верно при всех t . Учитывая область (t-5)(t+5)>0, получаем t < -5 или t > 5 . 2) Если (t-5)(t+5) < 0, т.е. -5 < t < 5 , то при умножении знак неравенства меняется: 2t^2+50<= 16t+18 <=> (t-4)^2<= 0. Квадрат неотрицателен, поэтому равенство возможно только при t = 4 . Проверим, входит ли t=4 в промежуток (-5,5): да, входит. Объединим решения: из первого случая t < -5 или t > 5 , из второго случая t = 4 . Также помним ОДЗ: t!=+- 5 . Таким образом, tin (-inf, -5) U 4U (5, +inf) . Вернёмся к x : t = _2 x . - t < -5 : _2 x < -5 => 0 < x < 2^(-5) = (1)/(32) . - t = 4 : _2 x = 4 => x = 16 . - t > 5 : _2 x > 5 => x > 32 . Учитывая, что x > 0 и x!=(1)/(32), 32 (они не входят в полученные множества), Ответ: xin(0, (1)/(32)) U 16U (32, +inf) .

\((0,1/32)\cup{16}\cup(32,+\infty)\)