В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а AN=3NS.
а) Докажите, что прямые MN, KL и SB пересекаются в одной точке.
б) Найдите отношение BL:LC.
а) Так как отрезки MK и NL пересекаются, то прямые MK и NL пересекаются и задают плоскость α. Поэтому M,K,N,L∈α, а прямые MN и KL лежат в плоскости α.
Точки M∈AB и N∈SA принадлежат плоскости SAB, значит, прямая MN⊂(SAB). Кроме того, MN⊂α, следовательно,
α∩(SAB)=MN.Аналогично, точки K∈SC и L∈BC принадлежат плоскости SBC, поэтому KL⊂(SBC) и KL⊂α, то есть
α∩(SBC)=KL.Плоскости (SAB) и (SBC) пересекаются по прямой SB.
Докажем, что SB пересекает плоскость α. Предположим противное: SB∥α. Тогда, так как MN=α∩(SAB) и MN⊂α, прямая SB (лежащая в плоскости SAB) не имеет общих точек с MN, значит, в плоскости SAB прямые SB и MN параллельны.
Но в треугольнике SAB прямая MN не может быть параллельна SB: если бы MN∥SB, то по теореме Фалеса было бы
MBAM=NSAN.Однако M — середина AB, поэтому MBAM=1, а по условию AN=3NS, то есть NSAN=3. Противоречие. Следовательно, SB не параллельна плоскости α и пересекает её в единственной точке F.
Точка F∈SB⊂(SAB) и F∈α, значит, F∈α∩(SAB)=MN. Аналогично, F∈SB⊂(SBC) и F∈α, значит, F∈α∩(SBC)=KL. Итак, прямые MN, KL и SB проходят через одну точку F.
б) В треугольнике SAB точки M∈AB, N∈SA, F∈SB лежат на одной прямой MN. По теореме Менелая:
MBAM⋅FSBF⋅NASN=1.Так как M — середина AB, то MBAM=1. Из AN=3NS получаем NASN=31. Тогда
1⋅FSBF⋅31=1⇒FSBF=3.В треугольнике SBC точки L∈BC, K∈SC, F∈SB лежат на одной прямой KL. По теореме Менелая:
LCBL⋅KSCK⋅FBSF=1.Так как K — середина SC, то KSCK=1. Кроме того, FBSF=31. Поэтому
LCBL⋅1⋅31=1⇒LCBL=3.Следовательно, BL:LC=3:1.
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Геометрия
ФИПИ