В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно, а точки N и L отмечены на рёбрах SA и BC соответственно так, что отрезки MK и NL пересекаются, а AN = 3NS. а) Докажите, что прямые MN, KL и SB пересекаются в одной точке. б) Найдите отношение BL : LC.

а) Так как отрезки MK и NL пересекаются, то прямые MK и NL пересекаются и задают плоскость alpha. Поэтому M,K,N,L, а прямые MN и KL лежат в плоскости alpha. Точки Min AB и Nin SA принадлежат плоскости SAB, значит, прямая MNc (SAB). Кроме того, MNcalpha, следовательно, alphan (SAB)=MN. Аналогично, точки Kin SC и Lin BC принадлежат плоскости SBC, поэтому KLc (SBC) и KLcalpha, то есть alphan (SBC)=KL. Плоскости (SAB) и (SBC) пересекаются по прямой SB. Докажем, что SB пересекает плоскость alpha. Предположим противное: SB. Тогда, так как MN=alphan(SAB) и MNcalpha, прямая SB (лежащая в плоскости SAB) не имеет общих точек с MN, значит, в плоскости SAB прямые SB и MN параллельны. Но в треугольнике SAB прямая MN не может быть параллельна SB: если бы MN SB, то по теореме Фалеса было бы (AM)/(MB)=(AN)/(NS). Однако M — середина AB, поэтому (AM)/(MB)=1, а по условию AN=3NS, то есть (AN)/(NS)=3. Противоречие. Следовательно, SB не параллельна плоскости alpha и пересекает её в единственной точке F. Точка Fin SBc(SAB) и F, значит, F(SAB)=MN. Аналогично, Fin SBc(SBC) и F, значит, F(SBC)=KL. Итак, прямые MN, KL и SB проходят через одну точку F. б) В треугольнике SAB точки Min AB, Nin SA, Fin SB лежат на одной прямой MN. По теореме Менелая: (AM)/(MB)*(BF)/(FS)*(SN)/(NA)=1. Так как M — середина AB, то (AM)/(MB)=1. Из AN=3NS получаем (SN)/(NA)=(1)/(3). Тогда 1*(BF)/(FS)*(1)/(3)=1=>(BF)/(FS)=3. В треугольнике SBC точки Lin BC, Kin SC, Fin SB лежат на одной прямой KL. По теореме Менелая: (BL)/(LC)*(CK)/(KS)*(SF)/(FB)=1. Так как K — середина SC, то (CK)/(KS)=1. Кроме того, (SF)/(FB)=(1)/(3). Поэтому (BL)/(LC)* 1*(1)/(3)=1=>(BL)/(LC)=3. Следовательно, BL:LC=3:1.

\(\text{\text{а) } Доказано}\) \(\text{б) }3:1\)