Решите неравенство _5(3x+1)+_5((1)/(72x^2)+1)>=_5((1)/(24x)+1).

Задача №15202: Неравенства

ОДЗ:

⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 1 > 0, \frac{1}{72 x ^{2}} + 1 > 0, \frac{1}{24 x} + 1 > 0, x \neq = 0.

Второе неравенство $\frac{1}{72 x ^{2}} + 1 > 0$ выполняется при всех $x \neq = 0,$ так как $\frac{1}{72 x ^{2}} > 0 .$

Первое неравенство: $3 x + 1 > 0 \Rightarrow x > - \frac{1}{3} .$

Третье неравенство: $\frac{1}{24 x} + 1 > 0 .$ Рассмотрим его отдельно:

\frac{1 + 24 x}{24 x} > 0 \Rightarrow \frac{24 x + 1}{24 x} > 0.

Метод интервалов: нули числителя $x = - \frac{1}{24},$ нуль знаменателя $x = 0 .$ Получаем $x < - \frac{1}{24}$ или $x > 0 .$

Учитывая $x > - \frac{1}{3}$ из первого неравенства, получаем ОДЗ: $x > 0 .$

На ОДЗ преобразуем неравенство:

lo g_{5} (3 x + 1) + lo g_{5} (\frac{1}{72 x ^{2}} + 1) \geq lo g_{5} (\frac{1}{24 x} + 1) .

Используем свойство логарифмов:

lo g_{5} ((3 x + 1) (\frac{1}{72 x ^{2}} + 1)) \geq lo g_{5} (\frac{1}{24 x} + 1) .

Так как основание $5 > 1,$ логарифмическая функция возрастает, поэтому:

(3 x + 1) (\frac{1}{72 x ^{2}} + 1) \geq \frac{1}{24 x} + 1.

Упростим левую часть:

(3 x + 1) (\frac{1 + 72 x ^{2}}{72 x ^{2}}) = \frac{( 3 x + 1 ) ( 1 + 72 x ^{2} )}{72 x ^{2}} .

Правая часть: $\frac{1}{24 x} + 1 = \frac{1 + 24 x}{24 x} .$ Перенесем всё в одну сторону:

\frac{( 3 x + 1 ) ( 1 + 72 x ^{2} )}{72 x ^{2}} - \frac{1 + 24 x}{24 x} \geq 0.

Приведем к общему знаменателю $72 x^{2} :$

\frac{( 3 x + 1 ) ( 1 + 72 x ^{2} ) - 3 x ( 1 + 24 x )}{72 x ^{2}} \geq 0.

Упростим числитель:

(3 x + 1) (1 + 72 x^{2}) - 3 x (1 + 24 x) = (3 x + 1) (1 + 72 x^{2}) - 3 x - 72 x^{2} .

Раскроем первую скобку:

(3 x + 1) (1 + 72 x^{2}) = 3 x (1 + 72 x^{2}) + 1 (1 + 72 x^{2}) = 3 x + 216 x^{3} + 1 + 72 x^{2} .

Тогда числитель:

(3 x + 216 x^{3} + 1 + 72 x^{2}) - 3 x - 72 x^{2} = 216 x^{3} + 1.

Таким образом, неравенство принимает вид:

\frac{216 x ^{3} + 1}{72 x ^{2}} \geq 0.

Заметим, что $216 x^{3} + 1 = (6 x)^{3} + 1^{3} = (6 x + 1) (36 x^{2} - 6 x + 1) .$ Квадратный трёхчлен $36 x^{2} - 6 x + 1$ имеет дискриминант $36 - 144 < 0$ и положителен при всех $x .$ Значит, знак числителя определяется множителем $6 x + 1 .$

Знаменатель $72 x^{2} > 0$ при всех $x \neq = 0 .$ Получаем:

\frac{( 6 x + 1 ) ( 36 x ^{2} - 6 x + 1 )}{72 x ^{2}} \geq 0 \Rightarrow 6 x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - \frac{1}{6} .

Учитывая ОДЗ $x > 0,$ окончательно получаем:

Ответ: $x > 0 .$

ОДЗ:

⎩ ⎨ ⎧ 3 x + 1 > 0, \frac{1}{72 x ^{2}} + 1 > 0, \frac{1}{24 x} + 1 > 0, x \neq = 0.

Второе неравенство $\frac{1}{72 x ^{2}} + 1 > 0$ выполняется при всех $x \neq = 0,$ так как $\frac{1}{72 x ^{2}} > 0 .$

Первое неравенство: $3 x + 1 > 0 \Rightarrow x > - \frac{1}{3} .$

Третье неравенство: $\frac{1}{24 x} + 1 > 0 .$ Рассмотрим его отдельно:

\frac{1 + 24 x}{24 x} > 0 \Rightarrow \frac{24 x + 1}{24 x} > 0.

Метод интервалов: нули числителя $x = - \frac{1}{24},$ нуль знаменателя $x = 0 .$ Получаем $x < - \frac{1}{24}$ или $x > 0 .$

Учитывая $x > - \frac{1}{3}$ из первого неравенства, получаем ОДЗ: $x > 0 .$

На ОДЗ преобразуем неравенство:

lo g_{5} (3 x + 1) + lo g_{5} (\frac{1}{72 x ^{2}} + 1) \geq lo g_{5} (\frac{1}{24 x} + 1) .

Используем свойство логарифмов:

lo g_{5} ((3 x + 1) (\frac{1}{72 x ^{2}} + 1)) \geq lo g_{5} (\frac{1}{24 x} + 1) .

Так как основание $5 > 1,$ логарифмическая функция возрастает, поэтому:

(3 x + 1) (\frac{1}{72 x ^{2}} + 1) \geq \frac{1}{24 x} + 1.

Упростим левую часть:

(3 x + 1) (\frac{1 + 72 x ^{2}}{72 x ^{2}}) = \frac{( 3 x + 1 ) ( 1 + 72 x ^{2} )}{72 x ^{2}} .

Правая часть: $\frac{1}{24 x} + 1 = \frac{1 + 24 x}{24 x} .$ Перенесем всё в одну сторону:

\frac{( 3 x + 1 ) ( 1 + 72 x ^{2} )}{72 x ^{2}} - \frac{1 + 24 x}{24 x} \geq 0.

Приведем к общему знаменателю $72 x^{2} :$

\frac{( 3 x + 1 ) ( 1 + 72 x ^{2} ) - 3 x ( 1 + 24 x )}{72 x ^{2}} \geq 0.

Упростим числитель:

(3 x + 1) (1 + 72 x^{2}) - 3 x (1 + 24 x) = (3 x + 1) (1 + 72 x^{2}) - 3 x - 72 x^{2} .

Раскроем первую скобку:

(3 x + 1) (1 + 72 x^{2}) = 3 x (1 + 72 x^{2}) + 1 (1 + 72 x^{2}) = 3 x + 216 x^{3} + 1 + 72 x^{2} .

Тогда числитель:

(3 x + 216 x^{3} + 1 + 72 x^{2}) - 3 x - 72 x^{2} = 216 x^{3} + 1.

Таким образом, неравенство принимает вид:

\frac{216 x ^{3} + 1}{72 x ^{2}} \geq 0.

Знаменатель $72 x^{2} > 0$ при всех $x \neq = 0 .$ Получаем:

\frac{( 6 x + 1 ) ( 36 x ^{2} - 6 x + 1 )}{72 x ^{2}} \geq 0 \Rightarrow 6 x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq - \frac{1}{6} .

Учитывая ОДЗ $x > 0,$ окончательно получаем:

Ответ: $x > 0 .$

Задача №15202

Задача #15202

Решай похожие задачи

Информация

Задача №15202

Задача #15202

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15202

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15202

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация