Решите неравенство _5(3x+1)+_5((1)/(72x^2)+1)>=_5((1)/(24x)+1).

ОДЗ: cases 3x+1>0, (1)/(72x^2)+1>0, (1)/(24x)+1>0, x!= 0. cases Второе неравенство (1)/(72x^2)+1>0 выполняется при всех x!= 0, так как (1)/(72x^2)>0. Первое неравенство: 3x+1>0=> x>-(1)/(3). Третье неравенство: (1)/(24x)+1>0. Рассмотрим его отдельно: (1+24x)/(24x)>0=>(24x+1)/(24x)>0. Метод интервалов: нули числителя x=-(1)/(24), нуль знаменателя x=0. Получаем x<-(1)/(24) или x>0. Учитывая x>-(1)/(3) из первого неравенства, получаем ОДЗ: x>0. На ОДЗ преобразуем неравенство: _5(3x+1)+_5((1)/(72x^2)+1) >=_5((1)/(24x)+1). Используем свойство логарифмов: _5((3x+1)((1)/(72x^2)+1)) >=_5((1)/(24x)+1). Так как основание 5>1, логарифмическая функция возрастает, поэтому: (3x+1)((1)/(72x^2)+1) >=(1)/(24x)+1. Упростим левую часть: (3x+1)((1+72x^2)/(72x^2)) = ((3x+1)(1+72x^2))/(72x^2). Правая часть: (1)/(24x)+1 = (1+24x)/(24x). Перенесем всё в одну сторону: ((3x+1)(1+72x^2))/(72x^2) - (1+24x)/(24x)>= 0. Приведем к общему знаменателю 72x^2: ((3x+1)(1+72x^2) - 3x(1+24x))/(72x^2)>= 0. Упростим числитель: (3x+1)(1+72x^2) - 3x(1+24x) = (3x+1)(1+72x^2) - 3x - 72x^2. Раскроем первую скобку: (3x+1)(1+72x^2) = 3x(1+72x^2) + 1(1+72x^2) = 3x + 216x^3 + 1 + 72x^2. Тогда числитель: (3x + 216x^3 + 1 + 72x^2) - 3x - 72x^2 = 216x^3 + 1. Таким образом, неравенство принимает вид: (216x^3+1)/(72x^2)>= 0. Заметим, что 216x^3+1 = (6x)^3+1^3 = (6x+1)(36x^2-6x+1). Квадратный трёхчлен 36x^2-6x+1 имеет дискриминант 36-144<0 и положителен при всех x. Значит, знак числителя определяется множителем 6x+1. Знаменатель 72x^2>0 при всех x!= 0. Получаем: ((6x+1)(36x^2-6x+1))/(72x^2)>= 0=> 6x+1>= 0=> x>= -(1)/(6). Учитывая ОДЗ x>0, окончательно получаем: Ответ: x>0.

\((0; +\infty)\)