Решите неравенство
2x−54x−3⋅2x+1+4+2x−83⋅2x+1−46⩽2x+5Пусть t=2x>0. Тогда 4x=t2, 2x+1=2t. Преобразуем неравенство:
t−5t2−3⋅2t+4+t−83⋅2t−46⩽t+5Упростим числители: t2−6t+4 и 6t−46. Перенесём всё в одну сторону:
t−5t2−6t+4+t−86t−46−t−5⩽0Приведём к общему знаменателю (t−5)(t−8):
(t−5)(t−8)(t2−6t+4)(t−8)+(6t−46)(t−5)−(t+5)(t−5)(t−8)⩽0Раскроем числитель поэтапно:
1. (t2−6t+4)(t−8)=t3−8t2−6t2+48t+4t−32=t3−14t2+52t−32.
2. (6t−46)(t−5)=6t2−30t−46t+230=6t2−76t+230.
3. (t+5)(t−5)(t−8)=(t2−25)(t−8)=t3−8t2−25t+200.
Сумма первых двух: t3−14t2+52t−32+6t2−76t+230=t3−8t2−24t+198.
Вычтем третье: (t3−8t2−24t+198)−(t3−8t2−25t+200)=−24t+198+25t−200=t−2.
Таким образом, неравенство принимает вид:
(t−5)(t−8)t−2⩽0,t>0,t=5,t=8.Решаем методом интервалов для t>0: нуль числителя t=2. Знаменатель обращается в ноль при t=5 и t=8. Расставляем знаки: при t>8 все множители положительны, дробь >0. При 5<t<8: t−2>0, t−5>0, t−8<0, дробь <0. При 2<t<5: t−2>0, t−5<0, t−8<0, произведение знаков: + * (-) * (-) = +, дробь >0. При 0<t<2: t−2<0, t−5<0, t−8<0, дробь <0. Также при t=2 дробь равна нулю, что удовлетворяет неравенству.
Итак, t∈(0;2]∪(5;8). Возвращаемся к x: 2x∈(0;2]∪(5;8). Учитывая, что t>0, получаем:
1. 0<2x≤2⇒x≤1.
2. 5<2x<8⇒log25<x<3.
Объединяем: x∈(−∞;1]∪(log25;3).
Ответ: x∈(−∞;1]∪(log25;3).
Проверить решение?
Покажи своё решение — проверю и покажу, где ошибка
Потренируйся на похожих — ИИ проверит твои решения
2
Алгебра
ФИПИ