а) Докажите, что KM AC . б) Найдите угол между прямой KM и плоскостью ABB_1 , если AB = 6 , AC = 8 и AA_1 = 3 .

а) Пусть H — середина ребра AC . Так как треугольник ABC равнобедренный ( AB = BC ), медиана BH является высотой, следовательно, BH AC . Проекцией точки K (середины A_1B_1 ) на плоскость основания ABC является точка K' — середина ребра AB (так как призма прямая). В треугольнике ABH точка K' — середина AB , а точка M делит AC так, что AM = (1)/(4)AC , MC = (3)/(4)AC . Поскольку H — середина AC , то AH = (1)/(2)AC , значит, M — середина AH . Тогда ( K'M — средняя линия треугольника ABH . Отсюда K'M BH . Так как BH AC и K'M BH , то K'M AC . Отрезок KK' перпендикулярен плоскости основания, а значит, и прямой AC . Прямая AC перпендикулярна двум пересекающимся прямым K'M и KK' плоскости MKK' , следовательно, AC (MKK') . Значит, AC KM , что и требовалось доказать. б) Угол между прямой KM и плоскостью ABB_1 равен углу между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Точка K лежит в плоскости ABB_1 (на ребре A_1B_1 ). Пусть P — проекция точки M на прямую AB . Так как призма прямая, плоскость ABB_1 перпендикулярна основанию, поэтому MP (ABB_1) , и искомый угол = MKP . В треугольнике ABC : AB = 6 , AC = 8 . В треугольнике ABH : AH = 4 , BH = sqrt(6^2 - 4^2) = 2sqrt(5) . Площадь S_(ABH) = (1)/(2) * AH * BH = (1)/(2) * 4 * 2sqrt(5) = 4sqrt(5) . Высота треугольника ABH , опущенная из вершины H на AB , равна h_H = (2S_(ABH))/(AB) = (8sqrt(5))/(6) = (4sqrt(5))/(3) . Поскольку M — середина AH , то MP = (1)/(2) h_H = (2sqrt(5))/(3) . Найдём гипотенузу KM из прямоугольного треугольника MKK' : MK' = (1)/(2) BH = sqrt(5), KK' = AA_1 = 3 KM = sqrt(MK'^2 + KK'^2) = sqrt(5 + 9) = sqrt(14) В прямоугольном треугольнике MKP : sin = (MP)/(KM) = (2sqrt(5))/(3sqrt(14)) = (2sqrt(70))/(3 * 14) = (sqrt(70))/(21) Ответ: arcsin (sqrt(70))/(21) .

б) \( \arcsin\frac{\sqrt{70}{}}{21} \)