Задача №15199

а) Докажите, что $KM\perp AC\text{.}$
б) Найдите угол между прямой $KM$ и плоскостью $AB{B}_1\text{,}$ если $AB=6\text{,}$ $AC=8$ и $A{A}_1=3\text{.}$

а) Пусть $H$ — середина ребра $AC\text{.}$ Так как треугольник $ABC$ равнобедренный ($AB=BC$), медиана $BH$ является высотой, следовательно, $BH\perp AC\text{.}$

Проекцией точки $K$ (середины $A_1{B}_1$) на плоскость основания $ABC$ является точка $K^{\prime }$ — середина ребра $AB$ (так как призма прямая).

В треугольнике $ABH$ точка $K^{\prime }$ — середина $AB\text{,}$ а точка $M$ делит $AC$ так, что $AM=\frac{1}{4}AC\text{,}$ $MC=\frac{3}{4}AC\text{.}$ Поскольку $H$ — середина $AC\text{,}$ то $AH=\frac{1}{2}AC\text{,}$ значит, $M$ — середина $AH\text{.}$ Тогда $K^{\prime }M$ — средняя линия треугольника $ABH\text{.}$ Отсюда $K^{\prime }M\parallel BH\text{.}$

Так как $BH\perp AC$ и $K^{\prime }M\parallel BH\text{,}$ то $K^{\prime }M\perp AC\text{.}$ Отрезок $K{K}^{\prime }$ перпендикулярен плоскости основания, а значит, и прямой $AC\text{.}$ Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $K^{\prime }M$ и $K{K}^{\prime }$ плоскости $MK{K}^{\prime }\text{,}$ следовательно, $AC\perp (MK{K}^{\prime })\text{.}$ Значит, $AC\perp KM\text{,}$ что и требовалось доказать.

б) Угол между прямой $KM$ и плоскостью $AB{B}_1$ равен углу между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Точка $K$ лежит в плоскости $AB{B}_1$ (на ребре $A_1{B}_1$). Пусть $P$ — проекция точки $M$ на прямую $AB\text{.}$ Так как призма прямая, плоскость $AB{B}_1$ перпендикулярна основанию, поэтому $MP\perp (AB{B}_1)\text{,}$ и искомый угол $\phi =\angle MKP\text{.}$

В треугольнике $ABC\text{:}$ $AB=6\text{,}$ $AC=8\text{.}$ В треугольнике $ABH\text{:}$ $AH=4\text{,}$ $BH=\sqrt{6^2-4^2}=2\sqrt{5}\text{.}$

Площадь $S_{ABH}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{5}=4\sqrt{5}\text{.}$

Высота треугольника $ABH\text{,}$ опущенная из вершины $H$ на $AB\text{,}$ равна $h_H=\frac{2S_{ABH}}{AB}=\frac{8\sqrt{5}}{6}=\frac{4\sqrt{5}}{3}\text{.}$

Поскольку $M$ — середина $AH\text{,}$ то $MP=\frac{1}{2}{h}_H=\frac{2\sqrt{5}}{3}\text{.}$

Найдём гипотенузу $KM$ из прямоугольного треугольника $MK{K}^{\prime }\text{:}$

В прямоугольном треугольнике $MKP\text{:}$

Ответ: $\arcsin \frac{\sqrt{70}}{21}\text{.}$