В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC_1 прямой. б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если AB = 20, BB_1 = 15, B_1C_1 = 21.

а) Пусть O и O_1 — центры оснований цилиндра, OO_1 — его ось. Рассмотрим плоскость alpha, проходящую через прямую OO_1 и отрезок AC_1. Тогда alphan (плоскость нижнего основания) — прямая, проходящая через O и точку A, то есть диаметр окружности основания. Проведём через точку C_1 образующую цилиндра, то есть прямую, параллельную оси OO_1; она пересечёт нижнее основание в точке C. Поскольку C_1 и OO_1calpha, то направление оси принадлежит плоскости alpha, значит, и прямая C_1C OO_1 лежит в alpha. Следовательно, C. Итак, точки A, O, C лежат на одной прямой, причём O — центр окружности основания, значит, AC — диаметр. Тогда ABC — вписанный угол, опирающийся на диаметр AC, следовательно, ABC=90^. Рассмотрим плоскость beta=(BCC_1). Она содержит прямую CC_1, параллельную оси цилиндра. Поэтому прямая, проходящая через B и параллельная CC_1, тоже лежит в плоскости beta; это и есть образующая BB_1. Значит, BC и BB_1 — две пересекающиеся прямые плоскости beta, пересекающиеся в точке B. Имеем AB BC (доказано выш е). Кроме того, BB_1 плоскости основания, а AB лежит в плоскости основания и проходит через точку Bin BB_1, значит, AB BB_1. Следовательно, AB перпендикулярна двум пересекающимся прямым BC и BB_1, лежащим в плоскости beta, значит, AB (BCC_1). Тогда AB BC_1 (так как BC_1c (BCC_1)), то есть ABC_1=90^. б) Четырёхугольник BCC_1B_1 — прямоугольник: BB_1 CC_1 (образующи е), BC B_1C_1 (параллельный перенос из нижнего основания в верхне е), и BB_1 плоскости основания, значит BB_1 BC. Поэтому BC=B_1C_1=21. В прямоугольном треугольнике ABC получаем AC=sqrt(AB^2+BC^2)=sqrt(20^2+21^2)=sqrt(841)=29. Но AC — диаметр основания, значит длина окружности основания равна l=pi* AC=29pi. Высота цилиндра h=BB_1=15. Тогда площадь боковой поверхности S_(бок)=l* h=29pi* 15=435pi. Ответ: а) Угол ABC_1 прямой. б) 435pi.

а) доказано б) \(435\pi\)