Задача №15197

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B\text{,}$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1\text{,}$ причём $B{B}_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_1$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $AB{C}_1$ прямой.

б) Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если $AB=20\text{,}$ $B{B}_1=15\text{,}$ $B_1{C}_1=21\text{.}$

а) Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований цилиндра, $O{O}_1$ — его ось. Рассмотрим плоскость $\alpha \text{,}$ проходящую через прямую $O{O}_1$ и отрезок $A{C}_1\text{.}$ Тогда $\alpha \cap$ (плоскость нижнего основания) — прямая, проходящая через $O$ и точку $A\text{,}$ то есть диаметр окружности основания.

Проведём через точку $C_1$ образующую цилиндра, то есть прямую, параллельную оси $O{O}_1\text{;}$ она пересечёт нижнее основание в точке $C\text{.}$ Поскольку $C_1\in \alpha$ и $O{O}_1\subset \alpha \text{,}$ то направление оси принадлежит плоскости $\alpha \text{,}$ значит, и прямая $C_{1}C\parallel O{O}_1$ лежит в $\alpha \text{.}$ Следовательно, $C\in \alpha \text{.}$ Итак, точки $A\text{,}$ $O\text{,}$ $C$ лежат на одной прямой, причём $O$ — центр окружности основания, значит, $AC$ — диаметр.

Тогда $\angle ABC$ — вписанный угол, опирающийся на диаметр $AC\text{,}$ следовательно, $\angle ABC=90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим плоскость $\beta =(BC{C}_1)\text{.}$ Она содержит прямую $C{C}_1\text{,}$ параллельную оси цилиндра. Поэтому прямая, проходящая через $B$ и параллельная $C{C}_1\text{,}$ тоже лежит в плоскости $\beta \text{;}$ это и есть образующая $B{B}_1\text{.}$ Значит, $BC$ и $B{B}_1$ — две пересекающиеся прямые плоскости $\beta \text{,}$ пересекающиеся в точке $B\text{.}$

Имеем $AB\perp BC$ (доказано выш

е). Кроме того, $B{B}_1\perp$ плоскости основания, а $AB$ лежит в плоскости основания и проходит через точку $B\in B{B}_1\text{,}$ значит, $AB\perp B{B}_1\text{.}$ Следовательно, $AB$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $BC$ и $B{B}_1\text{,}$ лежащим в плоскости $\beta \text{,}$ значит,

$$AB\perp (BC{C}_1).$$

Тогда $AB\perp B{C}_1$ (так как $B{C}_1\subset (BC{C}_1)$), то есть $\angle AB{C}_1=90^{\circ }\text{.}$

б) Четырёхугольник $BC{C}_1{B}_1$ — прямоугольник: $B{B}_1\parallel C{C}_1$ (образующи

е), $BC\parallel B_1{C}_1$ (параллельный перенос из нижнего основания в верхне

е), и $B{B}_1\perp$ плоскости основания, значит $B{B}_1\perp BC\text{.}$ Поэтому $BC=B_1{C}_1=21\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABC$ получаем

$$AC=\sqrt{A{B}^2+B{C}^2}=\sqrt{20^2+21^2}=\sqrt{841}=29.$$

Но $AC$ — диаметр основания, значит длина окружности основания равна $l=\pi \cdot AC=29\pi \text{.}$ Высота цилиндра $h=B{B}_1=15\text{.}$ Тогда площадь боковой поверхности

$$S_{\text{бок}}=l\cdot h=29\pi \cdot 15=435\pi .$$

Ответ:

а) Угол $AB{C}_1$ прямой.

б) $435\pi \text{.}$