а) Решите уравнение (9^(sin 2x) - 3^(2sqrt(2)sin x))/(sqrt(11sin x)) = 0 . б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [ (7pi)/(2); 5pi] .

Преобразуем уравнение: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. (9^(sin 2x) - 3^(2sqrt(2)sin x))/(sqrt(11sin x)) = 0<=> cases 9^(sin 2x) = 3^(2sqrt(2)sin x), sqrt(11sin x)!= 0, sin x > 0. cases Перепишем левую часть, используя 9 = 3^2: 9^(sin 2x) = 3^(2sin 2x) . Приравниваем показатели степеней с основанием 3: 2sin 2x = 2sqrt(2)sin x . Делим на 2 и применяем формулу синуса двойного угла sin 2x = 2sin xcos x: 2sin xcos x = sqrt(2)sin x<=>sin x (2cos x - sqrt(2)) = 0 . Получаем два случая: 1. sin x = 0 — не удовлетворяет условию sin x > 0. 2. 2cos x - sqrt(2) = 0=>cos x = (sqrt(2))/(2)=> x = +-(pi)/(4) + 2pi k, kin Z. Учитывая условие sin x > 0: - Для x = (pi)/(4) + 2pi k: sin(pi)/(4) = (sqrt(2))/(2) > 0 — подходит. - Для x = -(pi)/(4) + 2pi k: sin( -(pi)/(4)) = -(sqrt(2))/(2) < 0 — не подходит. Таким образом, общее решение: x = (pi)/(4) + 2pi k, kin Z. б) Найдем корни на отрезке [ (7pi)/(2); 5pi] : (7pi)/(2) (pi)/(4) + 2pi k 5pi . Умножим все части на 4: 14pi pi + 8pi k 20pi<=> 13pi 8pi k 19pi<=> (13)/(8) k (19)/(8). Так как k целое, то k = 2. Подставляем: x = (pi)/(4) + 2pi* 2 = (pi)/(4) + 4pi = (17pi)/(4). Проверяем принадлежность: (17pi)/(4) = 4.25pi, а отрезок [ (7pi)/(2) = 3.5pi; 5pi] — подходит. Ответ: а) x = (pi)/(4) + 2pi k, kin Z б) (17pi)/(4)

а) \( \dfrac{\pi}{4} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z} \) б) \( \dfrac{17\pi}{4} \)