Задача №15195

а) Решите уравнение
$\frac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0\text{.}$

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]\text{.}$

Преобразуем уравнение: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

$$\frac{9^{\sin 2x}-3^{2\sqrt{2}\sin x}}{\sqrt{11\sin x}}=0\iff \{\begin{array}{l}{9}^{\sin 2x}=3^{2\sqrt{2}\sin x},\\ \sqrt{11\sin x}\ne 0,\sin x>0.\end{array}$$

Перепишем левую часть, используя $9=3^2\text{:}$
$9^{\sin 2x}=3^{2\sin 2x}\text{.}$

Приравниваем показатели степеней с основанием 3:
$2\sin 2x=2\sqrt{2}\sin x\text{.}$

Делим на 2 и применяем формулу синуса двойного угла $\sin 2x=2\sin x\cos x\text{:}$
$2\sin x\cos x=\sqrt{2}\sin x\iff \sin x(2\cos x-\sqrt{2})=0\text{.}$

Получаем два случая:
1. $\sin x=0$ — не удовлетворяет условию $\sin x>0\text{.}$
2. $2\cos x-\sqrt{2}=0\Rightarrow \cos x=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow x=\pm \frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

Учитывая условие $\sin x>0\text{:}$

• Для $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ $\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}>0$ — подходит.
• Для $x=-\frac{\pi }{4}+2\pi k\text{:}$ $\sin \left(-\frac{\pi }{4}\right)=-\frac{\sqrt{2}}{2}<0$ — не подходит.

Таким образом, общее решение: $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}\text{.}$

б) Найдем корни на отрезке $\left[\frac{7\pi }{2};5\pi \right]\text{:}$
$\frac{7\pi }{2}⩽\frac{\pi }{4}+2\pi k⩽5\pi \text{.}$

Умножим все части на 4:

$$14\pi ⩽\pi +8\pi k⩽20\pi \iff 13\pi ⩽8\pi k⩽19\pi \iff \frac{13}{8}⩽k⩽\frac{19}{8}.$$

Так как $k$ целое, то $k=2\text{.}$ Подставляем: $x=\frac{\pi }{4}+2\pi \cdot 2=\frac{\pi }{4}+4\pi =\frac{17\pi }{4}\text{.}$
Проверяем принадлежность: $\frac{17\pi }{4}=4.25\pi \text{,}$ а отрезок $\left[\frac{7\pi }{2}=3.5\pi ;5\pi \right]$ — подходит.

Ответ:

а) $x=\frac{\pi }{4}+2\pi k,k\in \mathbb{Z}$

б) $\frac{17\pi }{4}$