Решите неравенство 11^x - 6 - (24* 11^x - 244)/(121^x - 16* 11^x + 60) (1)/(11^x - 10).

Сделаем замену t = 11^x > 0 . Тогда неравенство принимает вид: t - 6 - (24t - 244)/(t^2 - 16t + 60) (1)/(t - 10). Разложим знаменатель дроби: t^2 - 16t + 60 = (t - 6)(t - 10) . Тогда: t - 6 - (24t - 244)/((t - 6)(t - 10)) (1)/(t - 10). Перенесём всё в левую часть: t - 6 - (24t - 244)/((t - 6)(t - 10)) - (1)/(t - 10) 0. Приведём к общему знаменателю (t - 6)(t - 10): ((t - 6)^2(t - 10) - (24t - 244) - (t - 6))/((t - 6)(t - 10)) 0. Упростим числитель. Сначала раскроем (t - 6)^2(t - 10): (t^2 - 12t + 36)(t - 10) = t^3 - 10t^2 - 12t^2 + 120t + 36t - 360 = t^3 - 22t^2 + 156t - 360. Теперь вычтем (24t - 244) и (t - 6): t^3 - 22t^2 + 156t - 360 - 24t + 244 - t + 6 = t^3 - 22t^2 + (156 - 24 - 1)t + (-360 + 244 + 6) = t^3 - 22t^2 + 131t - 110. Проверим, делится ли t^3 - 22t^2 + 131t - 110 на t - 10 . Подставим t = 10 : 1000 - 2200 + 1310 - 110 = 0 , значит, делится. Выполним деление: (t^3 - 22t^2 + 131t - 110) : (t - 10) = t^2 - 12t + 11. Разложим: t^2 - 12t + 11 = (t - 1)(t - 11) . Таким образом, числитель равен (t - 10)(t - 1)(t - 11) . Тогда неравенство принимает вид: ((t - 10)(t - 1)(t - 11))/((t - 6)(t - 10)) 0. Сократим на t - 10 , учитывая, что t = 10 не входит в ОДЗ исходного неравенства (так как знаменатель 11^x - 10 в исходном неравенстве не должен быть равен нулю, и знаменатель t^2 - 16t + 60 = (t - 6)(t - 10) также не должен быть равен нулю). Поэтому t!= 10 . После сокращения: ((t - 1)(t - 11))/(t - 6) 0, t > 0, t!= 6, t!= 10. Решим методом интервалов. Нули числителя: t = 1 , t = 11 . Знаменатель обращается в ноль при t = 6 . Нанесём на числовую прямую t > 0 точки 1, 6, 10, 11, учтём, что t!= 6 , t!= 10 . Определим знаки на интервалах: - (0; 1) : (t - 1) < 0 , (t - 11) < 0 , (t - 6) < 0 => дробь (-)(-)/(-) = - (отрицательна). - (1; 6) : (t - 1) > 0 , (t - 11) < 0 , (t - 6) < 0 => дробь (+)(-)/(-) = + . - (6; 10) : (t - 1) > 0 , (t - 11) < 0 , (t - 6) > 0 => дробь (+)(-)/(+) = - . - (10; 11) : (t - 1) > 0 , (t - 11) < 0 , (t - 6) > 0 => дробь (+)(-)/(+) = - . - (11; +inf) : (t - 1) > 0 , (t - 11) > 0 , (t - 6) > 0 => дробь (+)(+)/(+) = + . Неравенство 0 выполняется на интервалах, где дробь отрицательна или равна нулю. Нули числителя входят: t = 1 и t = 11 . Получаем: tin (0; 1] U (6; 10) U (10; 11]. Возвращаемся к переменной x : t = 11^x . 1) 0 < 11^x 1 => 11^x 1 => 11^x 11^0 => x 0 . Но t > 0 всегда, поэтому x 0 . 2) 6 < 11^x < 10 => _(11) 6 < x < _(11) 10 . 3) 10 < 11^x 11 => _(11) 10 < x 1 . Объединяем: xin (-inf; 0] U (_(11) 6; _(11) 10) U (_(11) 10; 1]. Заметим, что _(11) 10 не входит (из-за условия t!= 10 ), а x = 1 входит (так как t = 11 входит). Также проверим x = 0 : при x = 0 имеем t = 1 , это входит. Проверим x = _(11) 6 : t = 6 не входит (знаменатель обращается в ноль). Итоговый ответ: xin (-inf; 0] U (_(11) 6; _(11) 10) U (_(11) 10; 1].

\((-\infty, 0] \cup (\log_{11} 6, \log_{11} 10) \cup (\log_{11} 10, 1]\)