Решите неравенство 11^x - 6 - (24* 11^x - 244)/(121^x - 16* 11^x + 60) (1)/(11^x - 10).

Задача №15194: Неравенства

Сделаем замену $t = 1 1^{x} > 0 .$ Тогда неравенство принимает вид:

t - 6 - \frac{24 t - 244}{t ^{2} - 16 t + 60} ⩽ \frac{1}{t - 10} .

Разложим знаменатель дроби: $t^{2} - 16 t + 60 = (t - 6) (t - 10) .$ Тогда:

t - 6 - \frac{24 t - 244}{( t - 6 ) ( t - 10 )} ⩽ \frac{1}{t - 10} .

Перенесём всё в левую часть:

t - 6 - \frac{24 t - 244}{( t - 6 ) ( t - 10 )} - \frac{1}{t - 10} ⩽ 0.

Приведём к общему знаменателю $(t - 6) (t - 10) :$

\frac{( t - 6 ) ^{2} ( t - 10 ) - ( 24 t - 244 ) - ( t - 6 )}{( t - 6 ) ( t - 10 )} ⩽ 0.

Упростим числитель. Сначала раскроем $(t - 6)^{2} (t - 10) :$

(t^{2} - 12 t + 36) (t - 10) = t^{3} - 10 t^{2} - 12 t^{2} + 120 t + 36 t - 360 = t^{3} - 22 t^{2} + 156 t - 360.

Теперь вычтем $(24 t - 244)$ и $(t - 6) :$

t^{3} - 22 t^{2} + 156 t - 360 - 24 t + 244 - t + 6 = t^{3} - 22 t^{2} + (156 - 24 - 1) t + (- 360 + 244 + 6) = t^{3} - 22 t^{2} + 131 t - 110.

Проверим, делится ли $t^{3} - 22 t^{2} + 131 t - 110$ на $t - 10 .$ Подставим $t = 10 :$ $1000 - 2200 + 1310 - 110 = 0,$ значит, делится. Выполним деление:

(t^{3} - 22 t^{2} + 131 t - 110) : (t - 10) = t^{2} - 12 t + 11.

Разложим: $t^{2} - 12 t + 11 = (t - 1) (t - 11) .$ Таким образом, числитель равен $(t - 10) (t - 1) (t - 11) .$ Тогда неравенство принимает вид:

\frac{( t - 10 ) ( t - 1 ) ( t - 11 )}{( t - 6 ) ( t - 10 )} ⩽ 0.

Сократим на $t - 10,$ учитывая, что $t = 10$ не входит в ОДЗ исходного неравенства (так как знаменатель $1 1^{x} - 10$ в исходном неравенстве не должен быть равен нулю, и знаменатель $t^{2} - 16 t + 60 = (t - 6) (t - 10)$ также не должен быть равен нулю). Поэтому $t \neq = 10 .$ После сокращения:

\frac{( t - 1 ) ( t - 11 )}{t - 6} ⩽ 0, t > 0, t \neq = 6, t \neq = 10.

Решим методом интервалов. Нули числителя: $t = 1,$ $t = 11 .$ Знаменатель обращается в ноль при $t = 6 .$ Нанесём на числовую прямую $t > 0$ точки 1, 6, 10, 11, учтём, что $t \neq = 6,$ $t \neq = 10 .$ Определим знаки на интервалах:

$(0; 1) :$ $(t - 1) < 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) < 0$ $\Rightarrow$ дробь $(-) (-) / (-) = -$ (отрицательна).
$(1; 6) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) < 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (-) / (-) = + .$
$(6; 10) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) > 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (-) / (+) = - .$
$(10; 11) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) > 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (-) / (+) = - .$
$(11; + \infty) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) > 0,$ $(t - 6) > 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (+) / (+) = + .$

Неравенство $⩽ 0$ выполняется на интервалах, где дробь отрицательна или равна нулю. Нули числителя входят: $t = 1$ и $t = 11 .$ Получаем:

t \in (0; 1] \cup (6; 10) \cup (10; 11] .

Возвращаемся к переменной $x :$ $t = 1 1^{x} .$

1) $0 < 1 1^{x} ⩽ 1$ $\Rightarrow$ $1 1^{x} ⩽ 1$ $\Rightarrow$ $1 1^{x} ⩽ 1 1^{0}$ $\Rightarrow$ $x ⩽ 0 .$ Но $t > 0$ всегда, поэтому $x ⩽ 0 .$

2) $6 < 1 1^{x} < 10$ $\Rightarrow$ $lo g_{11} 6 < x < lo g_{11} 10 .$

3) $10 < 1 1^{x} ⩽ 11$ $\Rightarrow$ $lo g_{11} 10 < x ⩽ 1 .$

Объединяем:

x \in (- \infty; 0] \cup (lo g_{11} 6; lo g_{11} 10) \cup (lo g_{11} 10; 1] .

Заметим, что $lo g_{11} 10$ не входит (из-за условия $t \neq = 10$ ), а $x = 1$ входит (так как $t = 11$ входит). Также проверим $x = 0 :$ при $x = 0$ имеем $t = 1,$ это входит. Проверим $x = lo g_{11} 6 :$ $t = 6$ не входит (знаменатель обращается в ноль). Итоговый ответ:

x \in (- \infty; 0] \cup (lo g_{11} 6; lo g_{11} 10) \cup (lo g_{11} 10; 1] .

Сделаем замену $t = 1 1^{x} > 0 .$ Тогда неравенство принимает вид:

t - 6 - \frac{24 t - 244}{t ^{2} - 16 t + 60} ⩽ \frac{1}{t - 10} .

Разложим знаменатель дроби: $t^{2} - 16 t + 60 = (t - 6) (t - 10) .$ Тогда:

t - 6 - \frac{24 t - 244}{( t - 6 ) ( t - 10 )} ⩽ \frac{1}{t - 10} .

Перенесём всё в левую часть:

t - 6 - \frac{24 t - 244}{( t - 6 ) ( t - 10 )} - \frac{1}{t - 10} ⩽ 0.

Приведём к общему знаменателю $(t - 6) (t - 10) :$

\frac{( t - 6 ) ^{2} ( t - 10 ) - ( 24 t - 244 ) - ( t - 6 )}{( t - 6 ) ( t - 10 )} ⩽ 0.

Упростим числитель. Сначала раскроем $(t - 6)^{2} (t - 10) :$

(t^{2} - 12 t + 36) (t - 10) = t^{3} - 10 t^{2} - 12 t^{2} + 120 t + 36 t - 360 = t^{3} - 22 t^{2} + 156 t - 360.

Теперь вычтем $(24 t - 244)$ и $(t - 6) :$

t^{3} - 22 t^{2} + 156 t - 360 - 24 t + 244 - t + 6 = t^{3} - 22 t^{2} + (156 - 24 - 1) t + (- 360 + 244 + 6) = t^{3} - 22 t^{2} + 131 t - 110.

(t^{3} - 22 t^{2} + 131 t - 110) : (t - 10) = t^{2} - 12 t + 11.

\frac{( t - 10 ) ( t - 1 ) ( t - 11 )}{( t - 6 ) ( t - 10 )} ⩽ 0.

\frac{( t - 1 ) ( t - 11 )}{t - 6} ⩽ 0, t > 0, t \neq = 6, t \neq = 10.

$(0; 1) :$ $(t - 1) < 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) < 0$ $\Rightarrow$ дробь $(-) (-) / (-) = -$ (отрицательна).
$(1; 6) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) < 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (-) / (-) = + .$
$(6; 10) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) > 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (-) / (+) = - .$
$(10; 11) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) < 0,$ $(t - 6) > 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (-) / (+) = - .$
$(11; + \infty) :$ $(t - 1) > 0,$ $(t - 11) > 0,$ $(t - 6) > 0$ $\Rightarrow$ дробь $(+) (+) / (+) = + .$

t \in (0; 1] \cup (6; 10) \cup (10; 11] .

Возвращаемся к переменной $x :$ $t = 1 1^{x} .$

1) $0 < 1 1^{x} ⩽ 1$ $\Rightarrow$ $1 1^{x} ⩽ 1$ $\Rightarrow$ $1 1^{x} ⩽ 1 1^{0}$ $\Rightarrow$ $x ⩽ 0 .$ Но $t > 0$ всегда, поэтому $x ⩽ 0 .$

2) $6 < 1 1^{x} < 10$ $\Rightarrow$ $lo g_{11} 6 < x < lo g_{11} 10 .$

3) $10 < 1 1^{x} ⩽ 11$ $\Rightarrow$ $lo g_{11} 10 < x ⩽ 1 .$

Объединяем:

x \in (- \infty; 0] \cup (lo g_{11} 6; lo g_{11} 10) \cup (lo g_{11} 10; 1] .

x \in (- \infty; 0] \cup (lo g_{11} 6; lo g_{11} 10) \cup (lo g_{11} 10; 1] .

Задача №15194

Задача #15194

Решай похожие задачи

Информация

Задача №15194

Задача #15194

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15194

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация

Задача #15194

Условие

Решение

Ответ

Решай похожие задачи

Информация