Задача №15193

Решите неравенство

$$\frac{13}{3^x-81}⩽\frac{1}{3^x-9}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{13}{3^x-81}-\frac{1}{3^x-9}⩽0.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{13(3^x-9)-(3^x-81)}{(3^x-81)(3^x-9)}⩽0\Rightarrow \frac{13\cdot 3^x-117-3^x+81}{(3^x-81)(3^x-9)}⩽0\Rightarrow \frac{12\cdot 3^x-36}{(3^x-81)(3^x-9)}⩽0.$$

Вынесем 12 в числителе:

$$\frac{12(3^x-3)}{(3^x-81)(3^x-9)}⩽0.$$

Сделаем замену $t=3^x>0\text{.}$ Тогда:

$$\frac{t-3}{(t-81)(t-9)}⩽0.$$

Найдём нули числителя и знаменателя: $t=3\text{,}$ $t=9\text{,}$ $t=81\text{.}$ Расставим знаки на интервалах $(0;3)\text{,}$ $(3;9)\text{,}$ $(9;81)\text{,}$ $(81;+\infty )$ с учётом $t>0\text{.}$ Получаем $t\in (0;3]\cup (9;81)\text{.}$
Обратная замена:
$0<3^x⩽3\Rightarrow x⩽1\text{,}$
$9<3^x<81\Rightarrow 2<x<4\text{.}$
Проверим точки, где знаменатель обращается в ноль: $t=9$ и $t=81$ не входят, $t=3$ входит (числитель равен нулю).
Ответ: $(-\infty ;1]\cup (2;4)\text{.}$