На ребре AA_1 прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 взята точка E так, что A_1E : EA = 1 : 2 , на ребре BB_1 — точка F так, что B_1F : FB = 1 : 5 , а точка T — середина ребра B_1C_1 . Известно, что AB = 2 , AD = 6 , AA_1 = 6 . а) Докажите, что плоскость EFT проходит через вершину D_1 . б) Найдите угол между плоскостью EFT и плоскостью AA_1B_1 .

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A(0; 0; 0) . Ребра AB, AD, AA_1 направим вдоль осей Ox, Oy, Oz соответственно. Координаты вершин: A(0; 0; 0) , B(2; 0; 0) , D(0; 6; 0) , A_1(0; 0; 6) , B_1(2; 0; 6) , C_1(2; 6; 6) , D_1(0; 6; 6) . Точка E лежит на ребре AA_1 , A_1E : EA = 1 : 2 . Так как AA_1 = 6 , то A_1E = 2 , EA = 4 . Тогда E(0; 0; 4) . Точка F лежит на ребре BB_1 , B_1F : FB = 1 : 5 . Так как BB_1 = 6 , то B_1F = 1 , FB = 5 . Тогда F(2; 0; 5) . Точка T — середина B_1C_1 . Координаты T : T ( (2 + 2)/(2); (0 + 6)/(2); (6 + 6)/(2) ) = (2; 3; 6). а) Пусть уравнение плоскости EFT имеет вид ax + by + cz + d = 0 . Подставим координаты точек E, F, T : 1. E(0; 0; 4) => 4c + d = 0 => d = -4c . 2. F(2; 0; 5) => 2a + 5c + d = 0 => 2a + 5c - 4c = 0 => c = -2a . Тогда d = -4(-2a) = 8a . 3. T(2; 3; 6) => 2a + 3b + 6c + d = 0 => 2a + 3b - 12a + 8a = 0 => 3b - 2a = 0 => b = (2)/(3)a . Положим a = 3 , тогда b = 2 , c = -6 , d = 24 . Уравнение плоскости EFT : 3x + 2y - 6z + 24 = 0 . Подставим координаты точки D_1(0; 6; 6) : 3 * 0 + 2 * 6 - 6 * 6 + 24 = 12 - 36 + 24 = 0 . Равенство верно, следовательно, плоскость EFT проходит через вершину D_1 . б) Плоскость AA_1B_1 совпадает с координатной плоскостью xOz , её уравнение y = 0 . Нормальный вектор n_1 = (0; 1; 0) . Нормальный вектор плоскости EFT : n_2 = (3; 2; -6) . Искомый угол alpha между плоскостями находим через косинус угла между нормалями: cos alpha = (|n_1 * n_2|)/(|n_1| * |n_2|) = (|0 * 3 + 1 * 2 + 0 * (-6)|)/(1 * sqrt(3^2 + 2^2 + (-6)^2)) = (2)/(sqrt(9 + 4 + 36)) = (2)/(7). Следовательно, alpha = arccos (2)/(7) . Ответ: arccos (2)/(7)

а) доказано б) \( \arccos\dfrac{2}{7} \)