Задача №15192

На ребре $A{A}_1$ прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ взята точка $E$ так, что $A_{1}E:EA=1:2\text{,}$ на ребре $B{B}_1$ — точка $F$ так, что $B_{1}F:FB=1:5\text{,}$ а точка $T$ — середина ребра $B_1{C}_1\text{.}$ Известно, что $AB=2\text{,}$ $AD=6\text{,}$ $A{A}_1=6\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1\text{.}$
б) Найдите угол между плоскостью $EFT$ и плоскостью $A{A}_1{B}_1\text{.}$

Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0;0;0)\text{.}$ Ребра $AB,AD,A{A}_1$ направим вдоль осей $Ox,Oy,Oz$ соответственно. Координаты вершин: $A(0;0;0)\text{,}$ $B(2;0;0)\text{,}$ $D(0;6;0)\text{,}$ $A_1(0;0;6)\text{,}$ $B_1(2;0;6)\text{,}$ $C_1(2;6;6)\text{,}$ $D_1(0;6;6)\text{.}$

Точка $E$ лежит на ребре $A{A}_1\text{,}$ $A_{1}E:EA=1:2\text{.}$ Так как $A{A}_1=6\text{,}$ то $A_{1}E=2\text{,}$ $EA=4\text{.}$ Тогда $E(0;0;4)\text{.}$

Точка $F$ лежит на ребре $B{B}_1\text{,}$ $B_{1}F:FB=1:5\text{.}$ Так как $B{B}_1=6\text{,}$ то $B_{1}F=1\text{,}$ $FB=5\text{.}$ Тогда $F(2;0;5)\text{.}$

Точка $T$ — середина $B_1{C}_1\text{.}$ Координаты $T\text{:}$

$$T\left(\frac{2+2}{2};\frac{0+6}{2};\frac{6+6}{2}\right)=(2;3;6).$$

а) Пусть уравнение плоскости $EFT$ имеет вид $ax+by+cz+d=0\text{.}$ Подставим координаты точек $E,F,T\text{:}$

1. $E(0;0;4)\Rightarrow 4c+d=0\Rightarrow d=-4c\text{.}$
2. $F(2;0;5)\Rightarrow 2a+5c+d=0\Rightarrow 2a+5c-4c=0\Rightarrow c=-2a\text{.}$ Тогда $d=-4(-2a)=8a\text{.}$
3. $T(2;3;6)\Rightarrow 2a+3b+6c+d=0\Rightarrow 2a+3b-12a+8a=0\Rightarrow 3b-2a=0\Rightarrow b=\frac{2}{3}a\text{.}$

Положим $a=3\text{,}$ тогда $b=2\text{,}$ $c=-6\text{,}$ $d=24\text{.}$ Уравнение плоскости $EFT\text{:}$
$3x+2y-6z+24=0\text{.}$

Подставим координаты точки $D_1(0;6;6)\text{:}$
$3\cdot 0+2\cdot 6-6\cdot 6+24=12-36+24=0\text{.}$
Равенство верно, следовательно, плоскость $EFT$ проходит через вершину $D_1\text{.}$

б) Плоскость $A{A}_1{B}_1$ совпадает с координатной плоскостью $xOz\text{,}$ её уравнение $y=0\text{.}$ Нормальный вектор ${\vec{n}}_1=(0;1;0)\text{.}$

Нормальный вектор плоскости $EFT\text{:}$ ${\vec{n}}_2=(3;2;-6)\text{.}$ Искомый угол $\alpha$ между плоскостями находим через косинус угла между нормалями:

$$\cos \alpha =\frac{|{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2|}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{|0\cdot 3+1\cdot 2+0\cdot (-6)|}{1\cdot \sqrt{3^2+2^2+(-6{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{9+4+36}}=\frac{2}{7}.$$

Следовательно, $\alpha =\arccos \frac{2}{7}\text{.}$

Ответ: $\arccos \frac{2}{7}$