Задача №15191

Решите неравенство

$${\log }_{11}(8x^2+7)-{\log }_{11}(x^2+x+1)⩾{\log }_{11}\left(\frac{x}{x+5}+7\right).$$

ОДЗ:

$$\{\begin{array}{l}8x^2+7>0(\text{выполнено всегда}),\\ x^2+x+1>0(\text{выполнено всегда}),\\ \frac{x}{x+5}+7>0,\\ x+5\ne 0.\end{array}$$

Решим $\frac{x}{x+5}+7>0\text{:}$

$$\frac{x+7(x+5)}{x+5}>0\Rightarrow \frac{8x+35}{x+5}>0.$$

Метод интервалов: нули числителя $x=-\frac{35}{8}=-4,375\text{,}$ нуль знаменателя $x=-5\text{.}$ Получаем $x<-5$ или $x>-4,375\text{.}$ Учитывая $x\ne -5\text{,}$ ОДЗ: $x\in (-\infty ;-5)\cup (-4,375;+\infty )\text{.}$

Преобразуем неравенство:

$${\log }_{11}(8x^2+7)-{\log }_{11}(x^2+x+1)⩾{\log }_{11}\left(\frac{x}{x+5}+7\right).$$

Используем свойства логарифмов:

$${\log }_{11}\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}⩾{\log }_{11}\left(\frac{8x+35}{x+5}\right).$$

Так как основание $11>1\text{,}$ получаем равносильное неравенство:

$$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}⩾\frac{8x+35}{x+5}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{8x^2+7}{x^2+x+1}-\frac{8x+35}{x+5}⩾0.$$

Приведём к общему знаменателю $(x^2+x+1)(x+5)\text{:}$

$$\frac{(8x^2+7)(x+5)-(8x+35)(x^2+x+1)}{(x^2+x+1)(x+5)}⩾0.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(8x^2+7)(x+5)=8x^3+40x^2+7x+35.$$ $$(8x+35)(x^2+x+1)=8x^3+8x^2+8x+35x^2+35x+35=8x^3+43x^2+43x+35.$$

Вычтем:

$$(8x^3+40x^2+7x+35)-(8x^3+43x^2+43x+35)=-3x^2-36x.$$

То есть числитель: $-3x^2-36x=-3x(x+12)\text{.}$

Неравенство принимает вид:

$$\frac{-3x(x+12)}{(x^2+x+1)(x+5)}⩾0.$$

Заметим, что $x^2+x+1={\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{3}{4}>0$ при всех $x\text{.}$ Знак дроби определяется выражением

$$\frac{-3x(x+12)}{x+5}⩾0\iff \frac{x(x+12)}{x+5}⩽0.$$

(умножили на $-1$ и сменили знак неравенства).

Решаем методом интервалов. Нули числителя: $x=0\text{,}$ $x=-12\text{.}$ Нуль знаменателя: $x=-5\text{.}$ Расставляем знаки на интервалах:
$(-\infty ;-12]\text{:}$ $x=-13\text{:}$ $(-)(-)/(-)=(+)/(-)=(-)$ — не подходит.
$[-12;-5)\text{:}$ $x=-6\text{:}$ $(-)(+)/(-)=(-)/(-)=(+)$ — подходит.
$(-5;0]\text{:}$ $x=-1\text{:}$ $(-)(+)/(+)=(-)/(+)=(-)$ — не подходит.
$[0;+\infty )\text{:}$ $x=1\text{:}$ $(+)(+)/(+)=(+)/(+)=(+)$ — не подходит.

Таким образом, решение неравенства: $x\in [-12;-5)\cup \{0\}\text{.}$ Проверим ОДЗ: из $[-12;-5)$ подходят все точки, кроме $x=-5$ (не входит). Точка $x=0$ также входит в ОДЗ ($0>-4,375$).

Ответ:
$[-12;-5)\cup \{0\}$