Решите неравенство _(11)(8x^2+7)-_(11)(x^2+x+1)_(11)((x)/(x+5)+7).

ОДЗ: cases 8x^2+7 > 0 (выполнено всегда), x^2+x+1 > 0 (выполнено всегда), (x)/(x+5)+7 > 0, x+5!= 0. cases Решим (x)/(x+5)+7 > 0: (x+7(x+5))/(x+5) > 0 => (8x+35)/(x+5) > 0. Метод интервалов: нули числителя x = -(35)/(8) = -4,375, нуль знаменателя x = -5. Получаем x < -5 или x > -4,375. Учитывая x!= -5, ОДЗ: xin (-inf; -5) U (-4,375; +inf). Преобразуем неравенство: _(11)(8x^2+7) - _(11)(x^2+x+1) _(11)((x)/(x+5)+7). Используем свойства логарифмов: _(11)(8x^2+7)/(x^2+x+1)_(11)((8x+35)/(x+5)). Так как основание 11 > 1, получаем равносильное неравенство: (8x^2+7)/(x^2+x+1)(8x+35)/(x+5). Перенесём всё в одну сторону: (8x^2+7)/(x^2+x+1) - (8x+35)/(x+5) 0. Приведём к общему знаменателю (x^2+x+1)(x+5): ((8x^2+7)(x+5) - (8x+35)(x^2+x+1))/((x^2+x+1)(x+5)) 0. Раскроем скобки в числителе: (8x^2+7)(x+5) = 8x^3 + 40x^2 + 7x + 35. (8x+35)(x^2+x+1) = 8x^3 + 8x^2 + 8x + 35x^2 + 35x + 35 = 8x^3 + 43x^2 + 43x + 35. Вычтем: (8x^3 + 40x^2 + 7x + 35) - (8x^3 + 43x^2 + 43x + 35) = -3x^2 - 36x. То есть числитель: -3x^2 - 36x = -3x(x+12). Неравенство принимает вид: (-3x(x+12))/((x^2+x+1)(x+5)) 0. Заметим, что x^2+x+1 = (x+12)^2 + 34 > 0 при всех x. Знак дроби определяется выражением (-3x(x+12))/(x+5) 0 <=> (x(x+12))/(x+5) 0. (умножили на -1 и сменили знак неравенства). Решаем методом интервалов. Нули числителя: x = 0, x = -12. Нуль знаменателя: x = -5. Расставляем знаки на интервалах: (-inf; -12]: x = -13: (-)(-)/(-) = (+)/(-) = (-) — не подходит. [-12; -5): x = -6: (-)(+)/(-) = (-)/(-) = (+) — подходит. (-5; 0]: x = -1: (-)(+)/(+) = (-)/(+) = (-) — не подходит. [0; +inf): x = 1: (+)(+)/(+) = (+)/(+) = (+) — не подходит. Таким образом, решение неравенства: xin [-12; -5) U 0. Проверим ОДЗ: из [-12; -5) подходят все точки, кроме x = -5 (не входит). Точка x = 0 также входит в ОДЗ (0 > -4,375). Ответ: [-12; -5) U 0

\([-12; -5)\cup{0}\)