Задача №15190

В основании прямой призмы $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ лежит параллелограмм $ABCD\text{.}$ На рёбрах $A_1{B}_1\text{,}$ $B_1{C}_1$ и $BC$ отмечены точки $M\text{,}$ $K$ и $N$ соответственно, причём $B_{1}K:K{C}_1=1:2\text{.}$ Четырёхугольник $AMKN$ — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3.

а) Докажите, что точка $N$ — середина ребра $BC\text{.}$

б) Найдите площадь трапеции $AMKN\text{,}$ если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

а) Плоскость, содержащая трапецию $AMKN\text{,}$ пересекает плоскости оснований призмы по прямым $AN$ и $MK\text{.}$ Так как плоскости оснований параллельны, то прямые их пересечения с одной и той же плоскостью параллельны, значит,

$$AN\parallel MK.$$

Рассмотрим треугольники $M{B}_{1}K$ и $ABN\text{.}$ Имеем:

• $M{B}_1\parallel AB\text{,}$ так как $M{B}_1\subset A_1{B}_1$ и $A_1{B}_1\parallel AB\text{;}$
• $B_{1}K\parallel BN\text{,}$ так как $B_{1}K\subset B_1{C}_1\text{,}$ $B_1{C}_1\parallel BC\text{,}$ а $BN\subset BC\text{;}$
• $MK\parallel AN$ (доказано выш

е).

Следовательно, $△M{B}_{1}K\sim △ABN\text{.}$

Коэффициент подобия

$$k=\frac{M{B}_1}{AB}.$$

Так как $M$ — точка на ребре $A_1{B}_1$ и $A_1{B}_1=AB\text{,}$ то $0<M{B}_1<AB\text{,}$ значит $0<k<1\text{.}$ Тогда

$$k=\frac{MK}{AN}<1\Rightarrow MK<AN.$$

По условию основания трапеции равны 2 и 3, поэтому $MK=2\text{,}$ $AN=3\text{,}$ и

$$k=\frac{MK}{AN}=\frac{2}{3}.$$

Из подобия также

$$k=\frac{B_{1}K}{BN}.$$

По условию $B_{1}K:K{C}_1=1:2\text{,}$ значит $B_{1}K=\frac{1}{3}{B}_1{C}_1\text{.}$ Так как $B_1{C}_1=BC\text{,}$ получаем $B_{1}K=\frac{1}{3}BC\text{.}$ Тогда

$$\frac{2}{3}=\frac{\frac{1}{3}BC}{BN}\Rightarrow BN=\frac{1}{2}BC.$$

Следовательно, $N$ — середина ребра $BC\text{.}$

б) $V=S_{ABCD}\cdot h\text{,}$ где $h=2\text{.}$ Тогда

$$S_{ABCD}=\frac{V}{h}=\frac{12}{2}=6.$$

Так как $N$ — середина $BC\text{,}$ то $BN=\frac{1}{2}BC\text{,}$ а высота параллелограмма к стороне $BC$ одинакова для треугольника $ABN$ и параллелограмма $ABCD\text{.}$ Поэтому

$$S_{ABN}=\frac{1}{2}\cdot \frac{BN}{BC}\cdot S_{ABCD}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6=\frac{3}{2}.$$

Площадь треугольника $ABN$ через основание $AN=3\text{:}$

$$\frac{1}{2}\cdot AN\cdot BH=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{1}{2}\cdot 3\cdot BH=\frac{3}{2}\Rightarrow BH=1,$$

где $BH$ — расстояние от точки $B$ до прямой $AN$ в плоскости основания.

Из подобия $△M{B}_{1}K\sim △ABN$ расстояния от соответствующих вершин до соответствующих сторон также относятся как коэффициент подобия:

$$B_1{H}_1=k\cdot BH=\frac{2}{3}\cdot 1=\frac{2}{3},$$

где $B_1{H}_1\perp MK\text{,}$ $H_1\in MK\text{.}$

Рассмотрим плоскость, проходящую через $B{B}_1$ и $BH\text{.}$ Так как $BH\perp AN$ и $B{B}_1\perp AN\text{,}$ эта плоскость перпендикулярна $AN\text{,}$ а значит и $MK\parallel AN\text{.}$ В этой плоскости лежат отрезки $BH\text{,}$ $B{B}_1$ и $B_1{H}_1$ (причём $B_1{H}_1\parallel BH$), поэтому в ней

• $B{B}_1\perp BH\text{,}$
• проекция точки $H$ на направление $BH$ отстоит от $B$ на 1,
• проекция точки $H_1$ на то же направление отстоит от $B_1$ на $\frac{2}{3}\text{.}$

Тогда расстояние между точками $H\in AN$ и $H_1\in MK$ равно

$$H{H}_1=\sqrt{B{B}_1^2+{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{2^2+{\left(1-\frac{2}{3}\right)}^2}=\sqrt{4+\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{37}}{3}.$$

Так как $H{H}_1\perp AN$ и $AN\parallel MK\text{,}$ то $H{H}_1\perp MK\text{;}$ следовательно, $H{H}_1$ — высота трапеции.

Площадь трапеции:

$$S_{AMKN}=\frac{AN+MK}{2}\cdot H{H}_1=\frac{3+2}{2}\cdot \frac{\sqrt{37}}{3}=\frac{5\sqrt{37}}{6}.$$

Ответ:
а) $N$ — середина ребра $BC\text{.}$

б) $\frac{5\sqrt{37}}{6}\text{.}$