В основании прямой призмы ABCDA_1B_1C_1D_1 лежит параллелограмм ABCD. На рёбрах A_1B_1, B_1C_1 и BC отмечены точки M, K и N соответственно, причём B_1K:KC_1=1:2. Четырёхугольник AMKN — равнобедренная трапеция с основаниями 2 и 3. а) Докажите, что точка N — середина ребра BC. б) Найдите площадь трапеции AMKN, если объём призмы равен 12, а высота призмы равна 2.

а) Плоскость, содержащая трапецию AMKN, пересекает плоскости оснований призмы по прямым AN и MK. Так как плоскости оснований параллельны, то прямые их пересечения с одной и той же плоскостью параллельны, значит, AN MK. Рассмотрим треугольники MB_1K и ABN. Имеем: - MB_1 AB, так как MB_1c A_1B_1 и A_1B_1 AB; - B_1K BN, так как B_1Kc B_1C_1, B_1C_1 BC, а BNc BC; - MK AN (доказано выш е). Следовательно, MB_1K ABN. Коэффициент подобия k=(MB_1)/(AB). Так как M — точка на ребре A_1B_1 и A_1B_1=AB, то 0<MB_1<AB, значит 0<k<1. Тогда k=(MK)/(AN)<1=> MK<AN. По условию основания трапеции равны 2 и 3, поэтому MK=2, AN=3, и k=(MK)/(AN)=(2)/(3). Из подобия также k=(B_1K)/(BN). По условию B_1K:KC_1=1:2, значит B_1K=(1)/(3) B_1C_1. Так как B_1C_1=BC, получаем B_1K=(1)/(3) BC. Тогда (2)/(3)=(13 BC)/(BN)=> BN=(1)/(2)BC. Следовательно, N — середина ребра BC. б) V=S_(ABCD)* h, где h=2. Тогда S_(ABCD)=(V)/(h)=(12)/(2)=6. Так как N — середина BC, то BN=(1)/(2) BC, а высота параллелограмма к стороне BC одинакова для треугольника ABN и параллелограмма ABCD. Поэтому S_(ABN)=(1)/(2)*(BN)/(BC)* S_(ABCD)=(1)/(2)*(1)/(2)* 6=(3)/(2). Площадь треугольника ABN через основание AN=3: (1)/(2)* AN* BH=(3)/(2)=>(1)/(2)* 3* BH=(3)/(2)=> BH=1, где BH — расстояние от точки B до прямой AN в плоскости основания. Из подобия MB_1K ABN расстояния от соответствующих вершин до соответствующих сторон также относятся как коэффициент подобия: B_1H_1=k* BH=(2)/(3)* 1=(2)/(3), где B_1H_1 MK, H_1in MK. Рассмотрим плоскость, проходящую через BB_1 и BH. Так как BH AN и BB_1 AN, эта плоскость перпендикулярна AN, а значит и MK AN. В этой плоскости лежат отрезки BH, BB_1 и B_1H_1 (причём B_1H_1 BH), поэтому в ней - BB_1 BH, - проекция точки H на направление BH отстоит от B на 1, - проекция точки H_1 на то же направление отстоит от B_1 на (2)/(3). Тогда расстояние между точками Hin AN и H_1in MK равно HH_1=sqrt(BB_1^2+(1-(2)/(3))^2)=sqrt(2^2+(1-(2)/(3))^2)=sqrt(4+(1)/(9))=(sqrt(37))/(3). Так как HH_1 AN и AN MK, то HH_1 MK; следовательно, HH_1 — высота трапеции. Площадь трапеции: S_(AMKN)=(AN+MK)/(2)* HH_1=(3+2)/(2)*(sqrt(37))/(3)=(5sqrt(37))/(6). Ответ: а) N — середина ребра BC . б) (5sqrt(37))/(6) .

\(\dfrac{5\sqrt{37}}{6}\)