Задача №15188

Решите неравенство $\frac{{\log }_4(16x^4)+11}{{\log }_4^{2}x-9}⩾-1\text{.}$

Преобразуем числитель: ${\log }_4(16x^4)={\log }_{4}16+{\log }_4{x}^4=2+4{\log }_{4}x\text{.}$ Обозначим $t={\log }_{4}x\text{,}$ тогда неравенство принимает вид:

Квадрат всегда неотрицателен, поэтому неравенство равносильно условию:

Решаем: $t<-3$ или $t>3$ или $t=-2\text{.}$ Возвращаемся к $x\text{:}$

${\log }_{4}x<-3\Rightarrow 0<x<4^{-3}=\frac{1}{64}$

${\log }_{4}x>3\Rightarrow x>4^3=64$

${\log }_{4}x=-2\Rightarrow x=4^{-2}=\frac{1}{16}$

Учитываем ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne 4^{\pm 3}$ (т.е. $x\ne \frac{1}{64},64$), но эти точки не входят в полученные интервалы, кроме границ, которые проверяем: при $t=-3$ или $t=3$ знаменатель исходной дроби обращается в ноль, поэтому они не входят. Точка $t=-2$ (т.е. $x=\frac{1}{16}$) входит, так как числитель не равен нулю.

Ответ: $\left(0;\frac{1}{64}\right)\cup \left\{\frac{1}{16}\right\}\cup (64;+\infty )\text{.}$