Решите неравенство (8^(x+(2)/(3)) - 9* 4^(x+(1)/(2)) + 13* 2^x - 13)/(4^(x+(1)/(2)) - 9* 2^x + 4) 2^(x+1) - (1)/(2^x - 2) + (3)/(2^(x+1) - 1).

Задача №15187: Неравенства

Пусть $t = 2^{x},$ где $t > 0 .$ Выполним преобразования степеней:

8^{x + \frac{2}{3}} = 2^{3 x + 2} = 4 t^{3}, 4^{x + \frac{1}{2}} = 2^{2 x + 1} = 2 t^{2}, 2^{x + 1} = 2 t .

Подставим переменную $t$ в неравенство:

\frac{4 t ^{3} - 9 \cdot 2 t ^{2} + 13 t - 13}{2 t ^{2} - 9 t + 4} ⩽ 2 t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2 t - 1} .

Разложим знаменатель левой части на множители: $2 t^{2} - 9 t + 4 = (2 t - 1) (t - 4) .$ Выделим целую часть в левой части:

\frac{4 t ^{3} - 18 t ^{2} + 13 t - 13}{2 t ^{2} - 9 t + 4} = \frac{2 t ( 2 t ^{2} - 9 t + 4 ) + 5 t - 13}{2 t ^{2} - 9 t + 4} = 2 t + \frac{5 t - 13}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 )} .

Исходное неравенство примет вид:

2 t + \frac{5 t - 13}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 )} ⩽ 2 t - \frac{1}{t - 2} + \frac{3}{2 t - 1} .

\frac{5 t - 13}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 )} + \frac{1}{t - 2} - \frac{3}{2 t - 1} ⩽ 0.

Приведем к общему знаменателю $(2 t - 1) (t - 4) (t - 2) :$

\frac{( 5 t - 13 ) ( t - 2 ) + ( 2 t - 1 ) ( t - 4 ) - 3 ( t - 4 ) ( t - 2 )}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} ⩽ 0.

Упростим числитель:

5 t^{2} - 23 t + 26 + 2 t^{2} - 9 t + 4 - 3 (t^{2} - 6 t + 8) = 4 t^{2} - 14 t + 6 = 2 (2 t - 1) (t - 3) .

Получаем неравенство:

\frac{2 ( 2 t - 1 ) ( t - 3 )}{( 2 t - 1 ) ( t - 4 ) ( t - 2 )} ⩽ 0.

С учетом ОДЗ ( $t \neq = 0, 5$ ) сократим на $2 t - 1 :$

\frac{t - 3}{( t - 4 ) ( t - 2 )} ⩽ 0.

Решая методом интервалов для $t > 0$ с учетом точек разрыва, получаем:

t \in (0; 0, 5) \cup (0, 5; 2) \cup [3; 4) .

Перейдем обратно к переменной $x :$

1. $0 < 2^{x} < 0, 5 \Rightarrow x < - 1;$
2. $0, 5 < 2^{x} < 2 \Rightarrow - 1 < x < 1;$
3. $3 ⩽ 2^{x} < 4 \Rightarrow lo g_{2} 3 ⩽ x < 2 .$

Объединяя интервалы, получаем итоговый ответ.

Ответ: $(- \infty; - 1) \cup (- 1; 1) \cup [lo g_{2} 3; 2)$