Задача №15186

В правильной треугольной призме $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ точка $K$ — середина ребра $A_1{B}_1\text{,}$ а точка $M$ лежит на ребре $A{A}_1$ так, что $A_{1}M:MA=2:1\text{.}$ Через точки $M$ и $K$ проведена плоскость $\alpha \text{,}$ перпендикулярная плоскости грани $AB{B}_1{A}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ проходит через вершину $C_1\text{.}$

б) Найдите площадь сечения призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ плоскостью $\alpha \text{,}$ если все рёбра призмы равны $12\text{.}$

а) Докажем, что плоскость, проходящая через точки $M\text{,}$ $K$ и $C_1\text{,}$ перпендикулярна грани $AB{B}_1{A}_1\text{.}$

Так как призма правильная, её боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому $A{A}_1\perp \text{плоскости }{A}_1{B}_1{C}_1\text{.}$ В частности, $A{A}_1\perp K{C}_1\text{.}$

Точка $K$ — середина стороны $A_1{B}_1$ правильного треугольника $A_1{B}_1{C}_1\text{,}$ значит, $K{C}_1$ является медианой и высотой, поэтому $K{C}_1\perp A_1{B}_1\text{.}$

Прямые $A_1{B}_1$ и $A{A}_1$ лежат в плоскости $AB{B}_1{A}_1$ и пересекаются. Таким образом, $K{C}_1$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым этой плоскости, следовательно, $K{C}_1\perp \text{плоскости }AB{B}_1{A}_1\text{.}$

Плоскость $MK{C}_1$ содержит прямую $K{C}_1\text{,}$ перпендикулярную плоскости $AB{B}_1{A}_1\text{,}$ поэтому она перпендикулярна плоскости $AB{B}_1{A}_1\text{.}$

По условию плоскость $\alpha$ проходит через $M$ и $K$ и перпендикулярна плоскости $AB{B}_1{A}_1\text{.}$ Прямая $MK$ лежит в плоскости $AB{B}_1{A}_1\text{,}$ поэтому единственная плоскость, содержащая $MK$ и перпендикулярная $AB{B}_1{A}_1\text{,}$ должна содержать и перпендикуляр к $AB{B}_1{A}_1\text{,}$ проведённый через точку на $MK\text{.}$ Таким перпендикуляром является $K{C}_1\text{.}$ Значит, плоскость $\alpha$ совпадает с плоскостью $MK{C}_1\text{,}$ и вершина $C_1$ принадлежит $\alpha \text{.}$

б) Сечением призмы плоскостью $\alpha$ является треугольник $MK{C}_1\text{.}$

Из доказанного выше $K{C}_1\perp \text{плоскости }AB{B}_1{A}_1\text{,}$ а значит, $K{C}_1\perp MK\text{,}$ поскольку $MK$ лежит в этой плоскости. Следовательно, треугольник $MK{C}_1$ прямоугольный с прямым углом при вершине $K\text{.}$

Найдём длины катетов. Все рёбра призмы равны $12\text{.}$

В прямоугольной грани $A{A}_1{B}_{1}B\text{:}$

• Точка $M$ делит ребро $A{A}_1$ в отношении $A_{1}M:MA=2:1\text{.}$ Так как $A{A}_1=12\text{,}$ то $A_{1}M=8\text{,}$ $MA=4\text{.}$
• Точка $K$ — середина $A_1{B}_1\text{,}$ поэтому $A_{1}K=6\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $A_{1}MK$ (угол при $A_1$ прямой) по теореме Пифагора:

$$MK=\sqrt{A_1{M}^2+A_1{K}^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{100}=10.$$

Высота $K{C}_1$ правильного треугольника $A_1{B}_1{C}_1$ со стороной $12\text{:}$

$$K{C}_1=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 12=6\sqrt{3}.$$

Площадь треугольника $MK{C}_1\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot MK\cdot K{C}_1=\frac{1}{2}\cdot 10\cdot 6\sqrt{3}=30\sqrt{3}.$$

Ответ:

а) Доказано.

б) $30\sqrt{3}\text{.}$