Задача №15183

В правильном тетраэдре $ABCD$ точки $M$ и $N$ — середины рёбер $AB$ и $CD$ соответственно. Плоскость $\alpha$ перпендикулярна прямой $MN$ и пересекает ребро $BC$ в точке $K\text{.}$

а) Докажите, что прямая $MN$ перпендикулярна рёбрам $AB$ и $CD\text{.}$

б) Найдите площадь сечения тетраэдра $ABCD$ плоскостью $\alpha \text{,}$ если известно, что $BK=1\text{,}$ $KC=3\text{.}$

а) В треугольнике $ABD$ он равносторонний, поэтому медиана $DM$ является высотой, значит $DM\perp AB\text{.}$ Аналогично, в равностороннем треугольнике $ABC$ медиана $CM$ является высотой, значит $CM\perp AB\text{.}$

Прямые $DM$ и $CM$ пересекаются в точке $M$ и лежат в плоскости $(CDM)\text{.}$ Следовательно, $AB\perp (CDM)\text{.}$ Так как $N\in CD\subset (CDM)\text{,}$ то $MN\subset (CDM)\text{,}$ значит $AB\perp MN\text{.}$

В равностороннем треугольнике $ACD$ медиана $AN$ является высотой, значит $AN\perp CD\text{.}$ В равностороннем треугольнике $BCD$ медиана $BN$ является высотой, значит $BN\perp CD\text{.}$

Прямые $AN$ и $BN$ пересекаются в точке $N$ и лежат в плоскости $(ABN)\text{,}$ следовательно, $CD\perp (ABN)\text{.}$ Так как $M\in AB\subset (ABN)\text{,}$ то $MN\subset (ABN)\text{,}$ значит $CD\perp MN\text{.}$

б) Так как тетраэдр правильный, $BC=AB=CD=a\text{.}$ По условию $BC=BK+KC=1+3=4\text{,}$ значит $a=4\text{.}$

Плоскость $\alpha \perp MN\text{.}$ Из пункта а) $AB\perp MN$ и $CD\perp MN\text{,}$ поэтому $AB\parallel \alpha$ и $CD\parallel \alpha \text{.}$

Пусть $\alpha \cap BC=K\text{.}$ В грани $BCD$ через $K$ проведём прямую, параллельную $CD\text{;}$ она пересечёт $BD$ в точке $T\text{.}$ Тогда $KT\subset \alpha$ и $KT\parallel CD\text{.}$

В грани $ABC$ через $K$ проведём прямую, параллельную $AB\text{;}$ она пересечёт $AC$ в точке $S\text{.}$ Тогда $KS\subset \alpha$ и $KS\parallel AB\text{.}$

В грани $ABD$ через $T$ проведём прямую, параллельную $AB\text{;}$ она пересечёт $AD$ в точке $R\text{.}$ Тогда $TR\subset \alpha$ и $TR\parallel AB\text{.}$

Поскольку $S\in AC$ и $R\in AD\text{,}$ отрезок $SR$ есть линия пересечения $\alpha$ с гранью $ACD\text{.}$ Так как $CD\subset (ACD)$ и $\alpha \parallel CD\text{,}$ то $SR\parallel CD\text{.}$ Значит, $KTSR$ — параллелограмм ($KS\parallel TR\parallel AB\text{,}$ $KT\parallel SR\parallel CD$).

Кроме того, из пункта а) имеем $AB\perp (CDM)\text{,}$ а $CD\subset (CDM)\text{,}$ значит $AB\perp CD\text{.}$ Следовательно, $KS\perp KT\text{,}$ и параллелограмм $KTSR$ — прямоугольник.

Найдём стороны.

1. В $△BCD$ $KT\parallel CD\text{,}$ поэтому $△BKT\sim △BCD$ и

$$\frac{KT}{CD}=\frac{BK}{BC}=\frac{1}{4}\Rightarrow KT=\frac{1}{4}\cdot 4=1.$$

2. В $△ABC$ $KS\parallel AB\text{,}$ поэтому $△CKS\sim △CBA$ и

$$\frac{KS}{AB}=\frac{CK}{CB}=\frac{3}{4}\Rightarrow KS=\frac{3}{4}\cdot 4=3.$$

Площадь сечения равна площади прямоугольника:

$$S=KT\cdot KS=1\cdot 3=3.$$

Ответ:

а) Доказано.

б) 3.