В правильном тетраэдре ABCD точки M и N — середины рёбер AB и CD соответственно. Плоскость alpha перпендикулярна прямой MN и пересекает ребро BC в точке K. а) Докажите, что прямая MN перпендикулярна рёбрам AB и CD. б) Найдите площадь сечения тетраэдра ABCD плоскостью alpha, если известно, что BK = 1, KC = 3.

а) В треугольнике ABD он равносторонний, поэтому медиана DM является высотой, значит DM AB. Аналогично, в равностороннем треугольнике ABC медиана CM является высотой, значит CM AB. Прямые DM и CM пересекаются в точке M и лежат в плоскости (CDM). Следовательно, AB (CDM). Так как Nin CDc (CDM), то MNc (CDM), значит AB MN. В равностороннем треугольнике ACD медиана AN является высотой, значит AN CD. В равностороннем треугольнике BCD медиана BN является высотой, значит BN CD. Прямые AN и BN пересекаются в точке N и лежат в плоскости (ABN), следовательно, CD (ABN). Так как Min ABc (ABN), то MNc (ABN), значит CD MN. б) Так как тетраэдр правильный, BC=AB=CD=a. По условию BC=BK+KC=1+3=4, значит a=4. Плоскость alpha MN. Из пункта а) AB MN и CD MN, поэтому AB и CD. Пусть alphan BC=K. В грани BCD через K проведём прямую, параллельную CD; она пересечёт BD в точке T. Тогда KTcalpha и KT CD. В грани ABC через K проведём прямую, параллельную AB; она пересечёт AC в точке S. Тогда KScalpha и KS AB. В грани ABD через T проведём прямую, параллельную AB; она пересечёт AD в точке R. Тогда TRcalpha и TR AB. Поскольку Sin AC и Rin AD, отрезок SR есть линия пересечения alpha с гранью ACD. Так как CDc (ACD) и alpha CD, то SR CD. Значит, KTSR — параллелограмм (KS TR AB, KT SR CD). Кроме того, из пункта а) имеем AB (CDM), а CDc (CDM), значит AB CD. Следовательно, KS KT, и параллелограмм KTSR — прямоугольник. Найдём стороны. 1. В BCD KT CD, поэтому BKT BCD и (KT)/(CD)=(BK)/(BC)=(1)/(4)=> KT=(1)/(4)* 4=1. 2. В ABC KS AB, поэтому CKS CBA и (KS)/(AB)=(CK)/(CB)=(3)/(4)=> KS=(3)/(4)* 4=3. Площадь сечения равна площади прямоугольника: S=KT* KS=1* 3=3. Ответ: а) Доказано. б) 3.

\(3\)