Решите неравенство (_8 x)/(_8(x64))>=(2)/(_8 x) + (3)/(_8^2 x - _8 x^2).

Введём замену: _8 x = t. Тогда _8(x)/(64) = _8 x - _8 64 = t - 2. Также _8 x^2 = 2_8 x = 2t. Неравенство принимает вид: (t)/(t - 2)>=(2)/(t) + (3)/(t^2 - 2t). ОДЗ: t!= 2, t!= 0, t^2 - 2t!= 0<=> t(t - 2) != 0, что уже учтено. Также из исходного неравенства: x > 0, x!= 64 (чтобы знаменатель первого логарифма не был нулём) и x!= 1 (чтобы _8 x!= 0). Эти условия соответствуют t!= 2, t!= 0. Преобразуем правую часть: (2)/(t) + (3)/(t(t - 2)) = (2(t - 2) + 3)/(t(t - 2)) = (2t - 4 + 3)/(t(t - 2)) = (2t - 1)/(t(t - 2)). Неравенство: (t)/(t - 2)>=(2t - 1)/(t(t - 2)). Умножим обе части на t(t - 2)^2 (учитывая знак). Рассмотрим два случая. 1. t(t - 2) > 0<=> t < 0 или t > 2. Тогда умножение на положительное выражение сохраняет знак: t* t>= 2t - 1<=> t^2 - 2t + 1>= 0<=> (t - 1)^2>= 0. Это верно при всех t. С учётом условий t < 0 или t > 2 получаем: t < 0 или t > 2. 2. t(t - 2) < 0<=> 0 < t < 2. Тогда умножение на отрицательное выражение меняет знак неравенства: t* t<= 2t - 1<=> t^2 - 2t + 1<= 0<=> (t - 1)^2<= 0. Это возможно только при t = 1. Учитывая 0 < t < 2, получаем t = 1. Объединяем решения: t < 0, t = 1, t > 2. Возвращаемся к x: - t < 0<=>_8 x < 0<=> 0 < x < 1. - t = 1<=>_8 x = 1<=> x = 8. - t > 2<=>_8 x > 2<=> x > 64. Проверим, что все эти значения входят в ОДЗ исходного неравенства (условия x > 0, x!= 1, x!= 64 выполнены: при x = 8 всё хорошо, при x > 64 тоже, при 0 < x < 1 тож е). Ответ: xin (0; 1) U 8U (64; +inf) .

\((0;1)\cup{8}\cup(64;+\infty)\)