Задача №15182

Решите неравенство $\frac{{\log }_{8}x}{{\log }_8\left(\frac{x}{64}\right)}\ge \frac{2}{{\log }_{8}x}+\frac{3}{{\log }_8^{2}x-{\log }_8{x}^2}\text{.}$

Введём замену: ${\log }_{8}x=t\text{.}$ Тогда ${\log }_8\frac{x}{64}={\log }_{8}x-{\log }_{8}64=t-2\text{.}$ Также ${\log }_8{x}^2=2{\log }_{8}x=2t\text{.}$ Неравенство принимает вид:

ОДЗ: $t\ne 2\text{,}$ $t\ne 0\text{,}$ $t^2-2t\ne 0\iff t(t-2)\ne 0\text{,}$ что уже учтено. Также из исходного неравенства: $x>0\text{,}$ $x\ne 64$ (чтобы знаменатель первого логарифма не был нулём) и $x\ne 1$ (чтобы ${\log }_{8}x\ne 0$). Эти условия соответствуют $t\ne 2\text{,}$ $t\ne 0\text{.}$

Преобразуем правую часть:

Неравенство:

Умножим обе части на $t(t-2{)}^2$ (учитывая знак). Рассмотрим два случая.

1. $t(t-2)>0\iff t<0$ или $t>2\text{.}$ Тогда умножение на положительное выражение сохраняет знак:

Это верно при всех $t\text{.}$ С учётом условий $t<0$ или $t>2$ получаем: $t<0$ или $t>2\text{.}$

2. $t(t-2)<0\iff 0<t<2\text{.}$ Тогда умножение на отрицательное выражение меняет знак неравенства:

Это возможно только при $t=1\text{.}$ Учитывая $0<t<2\text{,}$ получаем $t=1\text{.}$

Объединяем решения: $t<0\text{,}$ $t=1\text{,}$ $t>2\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$

• $t<0\iff {\log }_{8}x<0\iff 0<x<1\text{.}$
• $t=1\iff {\log }_{8}x=1\iff x=8\text{.}$
• $t>2\iff {\log }_{8}x>2\iff x>64\text{.}$

Проверим, что все эти значения входят в ОДЗ исходного неравенства (условия $x>0\text{,}$ $x\ne 1\text{,}$ $x\ne 64$ выполнены: при $x=8$ всё хорошо, при $x>64$ тоже, при $0<x<1$ тож

е).

Ответ: $x\in (0;1)\cup \{8\}\cup (64;+\infty )\text{.}$