Решите неравенство (_3(9x) *_4(64x))/(5x^2 - |x|)<= 0.

Решим неравенство (_3(9x) *_4(64x))/(5x^2 - |x|)<= 0. Преобразуем логарифмы: _3(9x) = _3 9 + _3 x = 2 + _3 x, _4(64x) = _4 64 + _4 x = 3 + _4 x. Тогда неравенство примет вид: ((2 + _3 x)(3 + _4 x))/(5x^2 - |x|)<= 0. Найдём ОДЗ: x > 0 (так как логарифмы определены при x > 0), и знаменатель не равен нулю: 5x^2 - |x| != 0. При x > 0: 5x^2 - x!= 0=> x(5x - 1) != 0=> x!= 0, x!=(1)/(5). Учитывая x > 0, имеем x!=(1)/(5). Таким образом, ОДЗ: x > 0, x!=(1)/(5). Рассмотрим неравенство на ОДЗ. Заметим, что при x > 0 знаменатель 5x^2 - x = x(5x - 1) положителен при x > (1)/(5) и отрицателен при 0 < x < (1)/(5). Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя: 2 + _3 x = 0=>_3 x = -2=> x = 3^(-2) = (1)/(9); 3 + _4 x = 0=>_4 x = -3=> x = 4^(-3) = (1)/(64). Отметим на числовой прямой точки (1)/(64), (1)/(9), (1)/(5) (точка разрыва). Определим знаки выражения ((2 + _3 x)(3 + _4 x))/(5x^2 - x) на интервалах: (0; (1)/(64)), ((1)/(64); (1)/(9)), ((1)/(9); (1)/(5)), ((1)/(5); +inf). При 0 < x < (1)/(64): _3 x < _3(1)/(64) < 0, так как (1)/(64) < 1. Проверим знак 2 + _3 x: например, при x = (1)/(81) = 3^(-4), _3 x = -4, тогда 2 + (-4) = -2 < 0. При очень маленьких x, _3 x отрицательно и по модулю большое, значит 2 + _3 x < 0. Аналогично, 3 + _4 x < 0. Произведение двух отрицательных чисел положительно. Знаменатель: при 0 < x < (1)/(5) имеем 5x - 1 < 0, поэтому x(5x-1) < 0. Дробь: положительное / отрицательное = отрицательное → подходит (неравенство <= 0). При (1)/(64) < x < (1)/(9): 2 + _3 x всё ещё отрицательно (так как x < (1)/(9) = 3^(-2), то _3 x < -2), а 3 + _4 x становится положительным (так как x > (1)/(64) = 4^(-3), то _4 x > -3). Произведение отрицательно. Знаменатель отрицателен. Дробь положительна → не подходит. При (1)/(9) < x < (1)/(5): 2 + _3 x > 0, 3 + _4 x > 0, произведение положительно, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна → подходит. При x > (1)/(5): числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна → не подходит. Также включаем точки, где числитель равен нулю: x = (1)/(64) и x = (1)/(9). Проверим, что они не совпадают с точкой разрыва: (1)/(64)!=(1)/(5), (1)/(9)!=(1)/(5). Таким образом, решение: Ответ: xin (0; (1)/(64)] U [(1)/(9); (1)/(5)).

\((0;1/64]\cup[1/9;1/5)\)