Задача №15181

Решите неравенство

$$\frac{{\log }_3(9x)\cdot {\log }_4(64x)}{5x^2-|x|}\le 0.$$

Решим неравенство

$$\frac{{\log }_3(9x)\cdot {\log }_4(64x)}{5x^2-|x|}\le 0.$$

Преобразуем логарифмы:

$${\log }_3(9x)={\log }_{3}9+{\log }_{3}x=2+{\log }_{3}x,{\log }_4(64x)={\log }_{4}64+{\log }_{4}x=3+{\log }_{4}x.$$

Тогда неравенство примет вид:

$$\frac{(2+{\log }_{3}x)(3+{\log }_{4}x)}{5x^2-|x|}\le 0.$$

Найдём ОДЗ: $x>0$ (так как логарифмы определены при $x>0$), и знаменатель не равен нулю: $5x^2-|x|\ne 0\text{.}$

При $x>0\text{:}$

$$5x^2-x\ne 0\Rightarrow x(5x-1)\ne 0\Rightarrow x\ne 0,x\ne \frac{1}{5}.$$

Учитывая $x>0\text{,}$ имеем $x\ne \frac{1}{5}\text{.}$ Таким образом, ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne \frac{1}{5}\text{.}$

Рассмотрим неравенство на ОДЗ. Заметим, что при $x>0$ знаменатель $5x^2-x=x(5x-1)$ положителен при $x>\frac{1}{5}$ и отрицателен при $0<x<\frac{1}{5}\text{.}$

Решим неравенство методом интервалов. Нули числителя:

$$2+{\log }_{3}x=0\Rightarrow {\log }_{3}x=-2\Rightarrow x=3^{-2}=\frac{1}{9};$$ $$3+{\log }_{4}x=0\Rightarrow {\log }_{4}x=-3\Rightarrow x=4^{-3}=\frac{1}{64}.$$

Отметим на числовой прямой точки $\frac{1}{64}\text{,}$ $\frac{1}{9}\text{,}$ $\frac{1}{5}$ (точка разрыва). Определим знаки выражения

$$\frac{(2+{\log }_{3}x)(3+{\log }_{4}x)}{5x^2-x}$$

на интервалах: $(0;\frac{1}{64})\text{,}$ $(\frac{1}{64};\frac{1}{9})\text{,}$ $(\frac{1}{9};\frac{1}{5})\text{,}$ $(\frac{1}{5};+\infty )\text{.}$

При $0<x<\frac{1}{64}\text{:}$
${\log }_{3}x<{\log }_3\frac{1}{64}<0\text{,}$ так как $\frac{1}{64}<1\text{.}$
Проверим знак $2+{\log }_{3}x\text{:}$ например, при $x=\frac{1}{81}=3^{-4}\text{,}$ ${\log }_{3}x=-4\text{,}$ тогда $2+(-4)=-2<0\text{.}$
При очень маленьких $x\text{,}$ ${\log }_{3}x$ отрицательно и по модулю большое, значит $2+{\log }_{3}x<0\text{.}$
Аналогично, $3+{\log }_{4}x<0\text{.}$
Произведение двух отрицательных чисел положительно.
Знаменатель: при $0<x<\frac{1}{5}$ имеем $5x-1<0\text{,}$ поэтому $x(5x-1)<0\text{.}$
Дробь: положительное / отрицательное = отрицательное → подходит (неравенство $\le 0$).

При $\frac{1}{64}<x<\frac{1}{9}\text{:}$
$2+{\log }_{3}x$ всё ещё отрицательно (так как $x<\frac{1}{9}=3^{-2}\text{,}$ то ${\log }_{3}x<-2$),
а $3+{\log }_{4}x$ становится положительным (так как $x>\frac{1}{64}=4^{-3}\text{,}$ то ${\log }_{4}x>-3$).
Произведение отрицательно. Знаменатель отрицателен. Дробь положительна → не подходит.

При $\frac{1}{9}<x<\frac{1}{5}\text{:}$
$2+{\log }_{3}x>0\text{,}$ $3+{\log }_{4}x>0\text{,}$ произведение положительно, знаменатель отрицателен, дробь отрицательна → подходит.

При $x>\frac{1}{5}\text{:}$ числитель положителен, знаменатель положителен, дробь положительна → не подходит.

Также включаем точки, где числитель равен нулю: $x=\frac{1}{64}$ и $x=\frac{1}{9}\text{.}$ Проверим, что они не совпадают с точкой разрыва: $\frac{1}{64}\ne \frac{1}{5}\text{,}$ $\frac{1}{9}\ne \frac{1}{5}\text{.}$

Таким образом, решение:

Ответ: $x\in (0;\frac{1}{64}]\cup [\frac{1}{9};\frac{1}{5})\text{.}$