В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 известны длины рёбер: AB = 2sqrt(2), AD = 6, AA_1 = 10. На рёбрах AA_1 и BB_1 отмечены точки E и F соответственно, причём A_1E : EA = 3 : 2 и B_1F : FB = 3 : 7. Точка T — середина ребра B_1C_1. а) Докажите, что плоскость EFT проходит через точку D_1. б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью EFT.

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке A(0; 0; 0) . Ось Ax направим вдоль ребра AB , ось Ay — вдоль ребра AD , ось Az — вдоль ребра AA_1 . Координаты вершин: A(0; 0; 0), B(2sqrt(2); 0; 0), D(0; 6; 0), A_1(0; 0; 10), B_1(2sqrt(2); 0; 10), C_1(2sqrt(2); 6; 10), D_1(0; 6; 10). Точка E лежит на ребре AA_1 . Так как A_1E : EA = 3 : 2 и AA_1 = 10 , то EA = (2)/(5) * 10 = 4 . Значит, E(0; 0; 4) . Точка F лежит на ребре BB_1 . Так как B_1F : FB = 3 : 7 и BB_1 = 10 , то FB = (7)/(10) * 10 = 7 . Значит, F(2sqrt(2); 0; 7) . Точка T — середина B_1C_1 : T( 2sqrt(2); (0+6)/(2); 10) = (2sqrt(2); 3; 10). Рассмотрим векторы FT и ED_1 : FT = (2sqrt(2) - 2sqrt(2); 3 - 0; 10 - 7) = (0; 3; 3). ED_1 = (0 - 0; 6 - 0; 10 - 4) = (0; 6; 6). Заметим, что ED_1 = 2FT . Это означает, что прямые ED_1 и FT параллельны. Прямая ED_1 проходит через точку E , лежащую в плоскости EFT , и параллельна прямой FT , лежащей в этой же плоскости. Следовательно, вся прямая ED_1 целиком лежит в плоскости EFT , а значит, точка D_1 принадлежит этой плоскости. б) Сечением является четырёхугольник EFTD_1 . Поскольку ED_1 FT , этот четырёхугольник — трапеция. Найдем длины её сторон: FT = sqrt(0^2 + 3^2 + 3^2) = 3sqrt(2). ED_1 = sqrt(0^2 + 6^2 + 6^2) = 6sqrt(2). EF = sqrt((22-0)^2 + 0^2 + (7-4)^2) = sqrt(8+9) = sqrt(17). D_1T = sqrt((22-0)^2 + (3-6)^2 + (10-10)^2) = sqrt(8+9) = sqrt(17). Так как боковые стороны EF и D_1T равны, трапеция равнобедренная. Пусть h — её высота. Найдём её из прямоугольного треугольника: h = sqrt(EF^2 - ( (ED_1 - FT)/(2))^2) = sqrt(17 - ( (32)/(2))^2) = sqrt(17 - 4,5) = sqrt(12,5) = (5)/(sqrt(2)). Площадь сечения: S = (ED_1 + FT)/(2) * h = (6sqrt(2) + 3sqrt(2))/(2) * (5)/(sqrt(2)) = (9sqrt(2))/(2) * (5)/(sqrt(2)) = 22,5. Ответ: 22,5

а) доказано б) 22,5