Задача №15180

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ известны длины рёбер: $AB=2\sqrt{2}\text{,}$ $AD=6\text{,}$ $A{A}_1=10\text{.}$ На рёбрах $A{A}_1$ и $B{B}_1$ отмечены точки $E$ и $F$ соответственно, причём $A_{1}E:EA=3:2$ и $B_{1}F:FB=3:7\text{.}$ Точка $T$ — середина ребра $B_1{C}_1\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $EFT$ проходит через точку $D_1\text{.}$
б) Найдите площадь сечения параллелепипеда плоскостью $EFT\text{.}$

а) Введём прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0;0;0)\text{.}$ Ось $Ax$ направим вдоль ребра $AB\text{,}$ ось $Ay$ — вдоль ребра $AD\text{,}$ ось $Az$ — вдоль ребра $A{A}_1\text{.}$

Координаты вершин:

$$A(0;0;0),B(2\sqrt{2};0;0),D(0;6;0),A_1(0;0;10),B_1(2\sqrt{2};0;10),C_1(2\sqrt{2};6;10),D_1(0;6;10).$$

Точка $E$ лежит на ребре $A{A}_1\text{.}$ Так как $A_{1}E:EA=3:2$ и $A{A}_1=10\text{,}$ то $EA=\frac{2}{5}\cdot 10=4\text{.}$ Значит, $E(0;0;4)\text{.}$

Точка $F$ лежит на ребре $B{B}_1\text{.}$ Так как $B_{1}F:FB=3:7$ и $B{B}_1=10\text{,}$ то $FB=\frac{7}{10}\cdot 10=7\text{.}$ Значит, $F(2\sqrt{2};0;7)\text{.}$

Точка $T$ — середина $B_1{C}_1\text{:}$

$$T\left(2\sqrt{2};\frac{0+6}{2};10\right)=(2\sqrt{2};3;10).$$

Рассмотрим векторы $\overrightarrow{FT}$ и $\overrightarrow{E{D}_1}\text{:}$

$$\overrightarrow{FT}=(2\sqrt{2}-2\sqrt{2};3-0;10-7)=(0;3;3).$$ $$\overrightarrow{E{D}_1}=(0-0;6-0;10-4)=(0;6;6).$$

Заметим, что $\overrightarrow{E{D}_1}=2\overrightarrow{FT}\text{.}$ Это означает, что прямые $E{D}_1$ и $FT$ параллельны. Прямая $E{D}_1$ проходит через точку $E\text{,}$ лежащую в плоскости $EFT\text{,}$ и параллельна прямой $FT\text{,}$ лежащей в этой же плоскости. Следовательно, вся прямая $E{D}_1$ целиком лежит в плоскости $EFT\text{,}$ а значит, точка $D_1$ принадлежит этой плоскости.

б) Сечением является четырёхугольник $EFT{D}_1\text{.}$ Поскольку $E{D}_1\parallel FT\text{,}$ этот четырёхугольник — трапеция. Найдем длины её сторон:

$$FT=\sqrt{0^2+3^2+3^2}=3\sqrt{2}.$$ $$E{D}_1=\sqrt{0^2+6^2+6^2}=6\sqrt{2}.$$ $$EF=\sqrt{(2\sqrt{2}-0{)}^2+0^2+(7-4{)}^2}=\sqrt{8+9}=\sqrt{17}.$$ $$D_{1}T=\sqrt{(2\sqrt{2}-0{)}^2+(3-6{)}^2+(10-10{)}^2}=\sqrt{8+9}=\sqrt{17}.$$

Так как боковые стороны $EF$ и $D_{1}T$ равны, трапеция равнобедренная. Пусть $h$ — её высота. Найдём её из прямоугольного треугольника:

$$h=\sqrt{E{F}^2-{\left(\frac{E{D}_1-FT}{2}\right)}^2}=\sqrt{17-{\left(\frac{3\sqrt{2}}{2}\right)}^2}=\sqrt{17-4,5}=\sqrt{12,5}=\frac{5}{\sqrt{2}}.$$

Площадь сечения:

$$S=\frac{E{D}_1+FT}{2}\cdot h=\frac{6\sqrt{2}+3\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{5}{\sqrt{2}}=\frac{9\sqrt{2}}{2}\cdot \frac{5}{\sqrt{2}}=22,5.$$

Ответ: 22,5