Задача №15179

Решите неравенство

$$1+\frac{6}{{\log }_{3}x-3}+\frac{5}{{\log }_3^{2}x-{\log }_3(27x^6)+12}\ge 0$$

ОДЗ: $x>0\text{,}$ $x\ne 27$ (так как ${\log }_{3}x-3\ne 0$) и также знаменатели других дробей не равны нулю.

Упростим выражение в знаменателе второй дроби:

$${\log }_3^{2}x-{\log }_3(27x^6)+12={\log }_3^{2}x-({\log }_{3}27+{\log }_3{x}^6)+12={\log }_3^{2}x-(3+6{\log }_{3}x)+12={\log }_3^{2}x-6{\log }_{3}x+9=({\log }_{3}x-3{)}^2.$$

Таким образом, неравенство принимает вид:

$$1+\frac{6}{{\log }_{3}x-3}+\frac{5}{({\log }_{3}x-3{)}^2}\ge 0.$$

Сделаем замену: $t={\log }_{3}x-3\text{,}$ тогда $t\ne 0\text{.}$ Получаем:

$$1+\frac{6}{t}+\frac{5}{t^2}\ge 0\iff \frac{t^2+6t+5}{t^2}\ge 0\iff \frac{(t+1)(t+5)}{t^2}\ge 0.$$

Так как $t^2>0$ при $t\ne 0\text{,}$ то неравенство равносильно $(t+1)(t+5)\ge 0\text{,}$ откуда $t\le -5$ или $t\ge -1\text{,}$ учитывая $t\ne 0\text{.}$

Возвращаемся к $x\text{:}$

1. $t\le -5\text{:}$ ${\log }_{3}x-3\le -5\Rightarrow {\log }_{3}x\le -2\Rightarrow 0<x\le 3^{-2}=\frac{1}{9}\text{.}$

2. $t\ge -1$ и $t\ne 0\text{:}$ ${\log }_{3}x-3\ge -1\Rightarrow {\log }_{3}x\ge 2\Rightarrow x\ge 9\text{,}$ и дополнительно ${\log }_{3}x-3\ne 0\Rightarrow {\log }_{3}x\ne 3\Rightarrow x\ne 27\text{.}$ Таким образом, $x\ge 9\text{,}$ $x\ne 27\text{.}$

Объединяя решения и учитывая ОДЗ ($x>0$), получаем ответ.

Ответ: $x\in \left(0;\frac{1}{9}\right]\cup [9;27)\cup (27;+\infty )\text{.}$