Основанием четырёхугольной пирамиды SABCD является прямоугольник ABCD, причём AB = 2sqrt(2), BC = 4. Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин A и C опущены перпендикуляры AP и CQ на ребро SB. а) Докажите, что P — середина отрезка BQ. б) Найдите угол между гранями SBA и SBC, если SD = 4.

а) Пусть O — центр прямоугольника ABCD. Поскольку SO — высота пирамиды и OA = OB = OC = OD (диагонали прямоугольника делятся пополам), все боковые рёбра равны: SA = SB = SC = SD. Обозначим SB = l. В треугольнике SAB: SA = SB = l, AB = 2sqrt(2). Опустим перпендикуляр AP на SB, пусть BP = x. Тогда SP = l - x. По теореме Пифагора: AP^2 = AB^2 - BP^2 = 8 - x^2, AP^2 = SA^2 - SP^2 = l^2 - (l - x)^2 = 2lx - x^2. Приравниваем: 8 - x^2 = 2lx - x^2=> lx = 4, откуда x = (4)/(l). Аналогично в треугольнике SBC: SC = SB = l, BC = 4. Опустим перпендикуляр CQ на SB, пусть BQ = y. CQ^2 = BC^2 - BQ^2 = 16 - y^2, CQ^2 = SC^2 - SQ^2 = l^2 - (l - y)^2 = 2ly - y^2, откуда 16 = 2ly, y = (8)/(l). Таким образом, BP = (4)/(l), BQ = (8)/(l), значит, BQ = 2BP. Поскольку точка P лежит на отрезке BQ, то BP = PQ, следовательно, P — середина BQ. б) По условию SD = 4, тогда все боковые рёбра равны 4, т.е. l = 4. Из пункта а) находим: BP = 1, BQ = 2. В треугольнике SAB: AP = sqrt(AB^2 - BP^2) = sqrt((22)^2 - 1^2) = sqrt(8 - 1) = sqrt(7). В треугольнике SBC: CQ = sqrt(BC^2 - BQ^2) = sqrt(4^2 - 2^2) = sqrt(16 - 4) = sqrt(12) = 2sqrt(3). Для построения линейного угла двугранного угла при ребре SB проведём в грани SBC через точку P отрезок PR CQ, где R лежит на BC. Так как P — середина BQ и PR CQ, то по теореме Фалеса R — середина BC, и PR — средняя линия треугольника BQC: PR = (1)/(2) CQ = (1)/(2)* 2sqrt(3) = sqrt(3). Точка R — середина BC, поэтому BR = (1)/(2) BC = 2. В прямоугольнике ABCD угол ABC прямой, значит, в треугольнике ABR угол B прямой. Тогда AR = sqrt(AB^2 + BR^2) = sqrt((22)^2 + 2^2) = sqrt(8 + 4) = sqrt(12) = 2sqrt(3). В треугольнике APR известны стороны: AP = sqrt(7), PR = sqrt(3), AR = 2sqrt(3). По теореме косинусов: AR^2 = AP^2 + PR^2 - 2* AP* PR*cos APR, (2sqrt(3))^2 = (sqrt(7))^2 + (sqrt(3))^2 - 2*sqrt(7)*sqrt(3)*cos APR, 12 = 7 + 3 - 2sqrt(21)cos APR, 12 = 10 - 2sqrt(21)cos APR, cos APR = -(1)/(sqrt(21)). Угол APR тупой, поэтому острый угол между плоскостями SBA и SBC равен = pi - APR, и cos = cos(pi - APR) = -cos APR = (1)/(sqrt(21)). Следовательно, искомый угол равен arccos(1)/(sqrt(21)). Ответ: arccos(1)/(sqrt(21)).

\( \arccos\dfrac{1}{\sqrt{21}} \)