В пирамиде ABCD рёбра DA , DB и DC попарно перпендикулярны, а AB = BC = AC = 5sqrt(2) . а) Докажите, что эта пирамида правильная. б) На рёбрах DA и DC отмечены точки M и N соответственно, причём DM : MA = DN : NC = 2 : 3 . Найдите площадь сечения MNB .

а) Пусть DA = a , DB = b , DC = c . Так как рёбра DA , DB , DC попарно перпендикулярны, треугольники ADB , BDC и CDA являются прямоугольными. По теореме Пифагора: a^2 + b^2 = AB^2 = 50 b^2 + c^2 = BC^2 = 50 c^2 + a^2 = AC^2 = 50 Вычитая из первого уравнения второе, получаем a^2 - c^2 = 0 , то есть a = c . Аналогично из второго и третьего уравнений получаем b = a . Таким образом, a = b = c . 2a^2 = 50 => a^2 = 25 => a = 5 Следовательно, DA = DB = DC = 5 . В основании пирамиды лежит правильный треугольник ABC со стороной 5sqrt(2) . Так как боковые рёбра равны, вершина D проектируется в центр описанной окружности основания. Для правильного треугольника этот центр совпадает с его геометрическим центром. Значит, пирамида ABCD — правильная. б) Найдём длины сторон треугольника MNB . Так как DM : MA = DN : NC = 2 : 3 и DA = DC = 5 , имеем: DM = DN = (2)/(2+3) * 5 = 2 В прямоугольном треугольнике MDN ( D = 90^ ): MN = sqrt(DM^2 + DN^2) = sqrt(2^2 + 2^2) = 2sqrt(2) В прямоугольном треугольнике MDB ( D = 90^ ): MB = sqrt(DM^2 + DB^2) = sqrt(2^2 + 5^2) = sqrt(29) В прямоугольном треугольнике NDB ( D = 90^ ): NB = sqrt(DN^2 + DB^2) = sqrt(2^2 + 5^2) = sqrt(29) Треугольник MNB — равнобедренный. Пусть H — середина MN , тогда BH — высота и медиана. Найдём BH из прямоугольного треугольника MHB : MH = (1)/(2) MN = sqrt(2) BH = sqrt(MB^2 - MH^2) = sqrt(29 - 2) = sqrt(27) = 3sqrt(3) Площадь треугольника MNB : S = (1)/(2) * MN * BH = (1)/(2) * 2sqrt(2) * 3sqrt(3) = 3sqrt(6) Ответ: б) 3sqrt(6)

\( 3\sqrt{6} \)