Задача №15177

В пирамиде $ABCD$ рёбра $DA\text{,}$ $DB$ и $DC$ попарно перпендикулярны, а $AB=BC=AC=5\sqrt{2}\text{.}$

а) Докажите, что эта пирамида правильная.
б) На рёбрах $DA$ и $DC$ отмечены точки $M$ и $N$ соответственно, причём $DM:MA=DN:NC=2:3\text{.}$ Найдите площадь сечения $MNB\text{.}$

а) Пусть $DA=a\text{,}$ $DB=b\text{,}$ $DC=c\text{.}$ Так как рёбра $DA\text{,}$ $DB\text{,}$ $DC$ попарно перпендикулярны, треугольники $ADB\text{,}$ $BDC$ и $CDA$ являются прямоугольными. По теореме Пифагора:

$$a^2+b^2=A{B}^2=50$$ $$b^2+c^2=B{C}^2=50$$ $$c^2+a^2=A{C}^2=50$$

Вычитая из первого уравнения второе, получаем $a^2-c^2=0\text{,}$ то есть $a=c\text{.}$ Аналогично из второго и третьего уравнений получаем $b=a\text{.}$ Таким образом, $a=b=c\text{.}$

$$2a^2=50\Rightarrow a^2=25\Rightarrow a=5$$

Следовательно, $DA=DB=DC=5\text{.}$ В основании пирамиды лежит правильный треугольник $ABC$ со стороной $5\sqrt{2}\text{.}$ Так как боковые рёбра равны, вершина $D$ проектируется в центр описанной окружности основания. Для правильного треугольника этот центр совпадает с его геометрическим центром. Значит, пирамида $ABCD$ — правильная.

б) Найдём длины сторон треугольника $MNB\text{.}$ Так как $DM:MA=DN:NC=2:3$ и $DA=DC=5\text{,}$ имеем:

$$DM=DN=\frac{2}{2+3}\cdot 5=2$$

В прямоугольном треугольнике $MDN$ ($\angle D=90^{\circ }$):

$$MN=\sqrt{D{M}^2+D{N}^2}=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$$

В прямоугольном треугольнике $MDB$ ($\angle D=90^{\circ }$):

$$MB=\sqrt{D{M}^2+D{B}^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$$

В прямоугольном треугольнике $NDB$ ($\angle D=90^{\circ }$):

$$NB=\sqrt{D{N}^2+D{B}^2}=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}$$

Треугольник $MNB$ — равнобедренный. Пусть $H$ — середина $MN\text{,}$ тогда $BH$ — высота и медиана. Найдём $BH$ из прямоугольного треугольника $MHB\text{:}$

$$MH=\frac{1}{2}MN=\sqrt{2}$$ $$BH=\sqrt{M{B}^2-M{H}^2}=\sqrt{29-2}=\sqrt{27}=3\sqrt{3}$$

Площадь треугольника $MNB\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot MN\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{3}=3\sqrt{6}$$

Ответ:

б) $3\sqrt{6}$