Задача №15176

Решите неравенство $\frac{{\log }_5(25x)}{{\log }_{5}x-2}+\frac{{\log }_{5}x-2}{{\log }_5(25x)}⩾\frac{6-{\log }_5{x}^4}{{\log }_5^{2}x-4}\text{.}$

Введём обозначение $t={\log }_{5}x\text{.}$ Тогда ${\log }_5(25x)={\log }_{5}25+{\log }_{5}x=2+t\text{.}$ Также ${\log }_5{x}^4=4t\text{.}$ Подставим в неравенство:

Заметим, что $t^2-4=(t-2)(t+2)\text{.}$ Приведём левую часть к общему знаменателю:

Упростим числитель левой части: $(t+2{)}^2+(t-2{)}^2=t^2+4t+4+t^2-4t+4=2t^2+8\text{.}$ Получаем:

Умножим обе части на $(t-2)(t+2)\text{,}$ учитывая знак знаменателя. Найдём ОДЗ: $t\ne \pm 2\text{,}$ т.е. $x>0\text{,}$ $x\ne \frac{1}{25}\text{,}$ $x\ne 25\text{.}$ Рассмотрим два случая.

1. Если $(t-2)(t+2)>0\text{,}$ т.е. $t<-2$ или $t>2\text{,}$ то знак неравенства сохраняется:

Это верно при всех $t\text{.}$ Учитывая область $(t-2)(t+2)>0\text{,}$ получаем $t<-2$ или $t>2\text{.}$

2. Если $(t-2)(t+2)<0\text{,}$ т.е. $-2<t<2\text{,}$ то при умножении знак меняется:

Это возможно только при $t=-1\text{.}$ Проверим, входит ли $-1$ в интервал $(-2,2)$ — да. Значит, $t=-1$ — решение.

Перейдём к переменной $x\text{:}$

• $t<-2\text{:}$ ${\log }_{5}x<-2\Rightarrow 0<x<\frac{1}{25}\text{.}$
• $t>2\text{:}$ ${\log }_{5}x>2\Rightarrow x>25\text{.}$
• $t=-1\text{:}$ ${\log }_{5}x=-1\Rightarrow x=\frac{1}{5}\text{.}$

Проверим, не обращают ли эти значения знаменатель исходного неравенства в ноль. При $x=\frac{1}{5}$ знаменатели ${\log }_{5}x-2=-3$ и ${\log }_5(25x)=1$ не равны нулю, также ${\log }_5^{2}x-4=1-4=-3\ne 0\text{.}$ Значит, подходит.

Ответ: $x\in (0;\frac{1}{25})\cup \left\{\frac{1}{5}\right\}\cup (25;+\infty )\text{.}$