Решите неравенство (_5 (25x))/(_5 x - 2) + (_5 x - 2)/(_5 (25x))(6 - _5 x^4)/(_5^2 x - 4) .

Введём обозначение t = _5 x . Тогда _5 (25x) = _5 25 + _5 x = 2 + t. Также _5 x^4 = 4t. Подставим в неравенство: (t+2)/(t-2) + (t-2)/(t+2) (6 - 4t)/(t^2 - 4). Заметим, что t^2 - 4 = (t-2)(t+2). Приведём левую часть к общему знаменателю: ((t+2)^2 + (t-2)^2)/((t-2)(t+2)) (6 - 4t)/((t-2)(t+2)). Упростим числитель левой части: (t+2)^2 + (t-2)^2 = t^2+4t+4 + t^2-4t+4 = 2t^2 + 8. Получаем: (2t^2 + 8)/((t-2)(t+2)) (6 - 4t)/((t-2)(t+2)). Умножим обе части на (t-2)(t+2), учитывая знак знаменателя. Найдём ОДЗ: t!=+- 2, т.е. x > 0, x!=(1)/(25), x!= 25. Рассмотрим два случая. 1. Если (t-2)(t+2) > 0, т.е. t < -2 или t > 2, то знак неравенства сохраняется: 2t^2 + 8 6 - 4t <=> 2t^2 + 4t + 2 0 <=> 2(t+1)^2 0. Это верно при всех t. Учитывая область (t-2)(t+2) > 0, получаем t < -2 или t > 2. 2. Если (t-2)(t+2) < 0, т.е. -2 < t < 2, то при умножении знак меняется: 2t^2 + 8 6 - 4t <=> 2t^2 + 4t + 2 0 <=> 2(t+1)^2 0. Это возможно только при t = -1. Проверим, входит ли -1 в интервал (-2, 2) — да. Значит, t = -1 — решение. Перейдём к переменной x: - t < -2: _5 x < -2=> 0 < x < (1)/(25). - t > 2: _5 x > 2=> x > 25. - t = -1: _5 x = -1=> x = (1)/(5). Проверим, не обращают ли эти значения знаменатель исходного неравенства в ноль. При x = (1)/(5) знаменатели _5 x - 2 = -3 и _5 (25x) = 1 не равны нулю, также _5^2 x - 4 = 1 - 4 = -3!= 0. Значит, подходит. Ответ: xin (0; (1)/(25)) U (1)/(5)U (25; +inf) .

\((0; \dfrac{1}{25}) \cup \{\dfrac{1}{5}\}\cup (25; +\infty)\)