Задача №15175

а) Решите уравнение
$8^x-9\cdot 2^{x+1}+2^{5-x}=0\text{.}$

б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку
$[{\log }_{5}2;{\log }_{5}20]\text{.}$

Преобразуем уравнение:

$$8^x=(2^3{)}^x=2^{3x},2^{x+1}=2\cdot 2^x,2^{5-x}=\frac{2^5}{2^x}=32\cdot 2^{-x}.$$

Получаем

$$2^{3x}-9\cdot 2\cdot 2^x+32\cdot 2^{-x}=0.$$

Умножим обе части на $2^x$ (что положительно):

$$2^{3x}\cdot 2^x-18\cdot 2^x\cdot 2^x+32=0\iff 2^{4x}-18\cdot 2^{2x}+32=0.$$

Сделаем замену $t=2^{2x}>0\text{:}$

$$t^2-18t+32=0.$$

Найдём дискриминант и корни:

$$D=(-18{)}^2-4\cdot 32=196,\sqrt{D}=14,$$ $$t_1=\frac{18+14}{2}=16,t_2=\frac{18-14}{2}=2.$$

Обратная замена:

1. $2^{2x}=16\iff 2^{2x}=2^4\iff 2x=4\iff x=2\text{.}$
2. $2^{2x}=2\iff 2^{2x}=2^1\iff 2x=1\iff x=0,5\text{.}$

Общие решения: $x=2$ и $x=0,5\text{.}$

Для отбора корней на отрезке $[{\log }_{5}2;{\log }_{5}20]$ оценим границы:

$${\log }_{5}2\approx 0,4307,{\log }_{5}20={\log }_5(4\cdot 5)={\log }_{5}4+1=2{\log }_{5}2+1\approx 1,8614.$$

Корень $x=0,5$ принадлежит отрезку, так как $0,4307⩽0,5⩽1,8614\text{.}$
Корень $x=2$ не принадлежит отрезку, так как $2>1,8614\text{.}$

Ответ:

а) $x=2\text{,}$ $x=0,5$

б) $x=0,5$