Задача №15174

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ с основанием $ABC$ точки $M$ и $K$ — середины рёбер $AB$ и $SC$ соответственно. На продолжении ребра $SB$ за точку $S$ отмечена точка $R\text{.}$ Прямые $RM$ и $RK$ пересекают рёбра $AS$ и $BC$ в точках $N$ и $L$ соответственно, причём $BL=3LC\text{.}$

а) Докажите, что отрезки $MK$ и $NL$ пересекаются.

б) Найдите отношение $AN:NS\text{.}$

а) Точки $R\text{,}$ $M\text{,}$ $K$ не лежат на одной прямой, значит, они задают плоскость $(RMK)\text{.}$ Так как $N\in RM\text{,}$ $L\in RK\text{,}$ то точки $M,N,K,L$ лежат в одной плоскости $(RMK)\text{.}$ Следовательно, прямые $MK$ и $NL$ лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, либо параллельны.

Предположим, что $MK\parallel NL\text{.}$ Тогда треугольники $RMK$ и $RNL$ подобны (угол при $R$ общий, а углы при $M$ и $N$ равны как углы между $RM$ и параллельными прямыми $MK$ и $NL$). Отсюда

$$\frac{RM}{RN}=\frac{RK}{RL}.\text{\hspace{1em}(1)}$$

Рассмотрим грань $SAB\text{.}$ Точка $R$ лежит на продолжении $SB$ за $S\text{,}$ точка $M$ лежит на ребре $AB\text{,}$ а по условию прямая $RM$ пересекает ребро $AS$ в точке $N\text{.}$ Значит, отрезок $RM$ пересекает сторону $AS$ треугольника $SAB$ в точке $N\text{,}$ то есть $N$ лежит между $R$ и $M\text{.}$ Поэтому $RN<RM\text{,}$ и

$$\frac{RM}{RN}>1.\text{\hspace{1em}(2)}$$

Аналогично в грани $SBC\text{:}$ точка $R$ лежит на продолжении $SB$ за $S\text{,}$ точка $L$ лежит на ребре $BC\text{,}$ и прямая $RL$ пересекает ребро $SC$ в точке $K\text{.}$ Следовательно, $K$ лежит между $R$ и $L\text{,}$ значит $RK<RL\text{,}$ и

$$\frac{RK}{RL}<1.\text{\hspace{1em}(3)}$$

Из (2) и (3) получаем, что равенство (1) невозможно. Следовательно, $MKot\parallel NL\text{,}$ а так как они компланарны, то $MK$ и $NL$ пересекаются.

б) Применим теорему Менелая в треугольнике $SBC$ для прямой $RKL$ (точки $R\in SB$ на продолжении за $S\text{,}$ $K\in SC\text{,}$ $L\in BC$):

$$\frac{BR}{RS}\cdot \frac{SK}{KC}\cdot \frac{CL}{LB}=1.$$

Так как $K$ — середина $SC\text{,}$ то $\frac{SK}{KC}=1\text{.}$ По условию $BL=3LC\text{,}$ значит $\frac{CL}{LB}=\frac{1}{3}\text{.}$ Тогда

$$\frac{BR}{RS}\cdot 1\cdot \frac{1}{3}=1\Rightarrow \frac{BR}{RS}=3.\text{\hspace{1em}(4)}$$

Теперь теорема Менелая в треугольнике $SAB$ для прямой $RMN$ ($R\in SB$ на продолжении за $S\text{,}$ $M\in AB\text{,}$ $N\in AS$):

$$\frac{BR}{RS}\cdot \frac{SN}{NA}\cdot \frac{AM}{MB}=1.$$

Так как $M$ — середина $AB\text{,}$ то $\frac{AM}{MB}=1\text{.}$ Подставляя (4), получаем

$$3\cdot \frac{SN}{NA}\cdot 1=1\Rightarrow \frac{SN}{NA}=\frac{1}{3}.$$

Следовательно, $AN:NS=3:1\text{.}$

Ответ: $AN:NS=3:1$