В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC точки M и K — середины рёбер AB и SC соответственно. На продолжении ребра SB за точку S отмечена точка R. Прямые RM и RK пересекают рёбра AS и BC в точках N и L соответственно, причём BL = 3LC. а) Докажите, что отрезки MK и NL пересекаются. б) Найдите отношение AN : NS.

а) Точки R, M, K не лежат на одной прямой, значит, они задают плоскость (RMK). Так как Nin RM, Lin RK, то точки M,N,K,L лежат в одной плоскости (RMK). Следовательно, прямые MK и NL лежат в одной плоскости, то есть либо пересекаются, либо параллельны. Предположим, что MK NL. Тогда треугольники RMK и RNL подобны (угол при R общий, а углы при M и N равны как углы между RM и параллельными прямыми MK и NL). Отсюда (RM)/(RN)=(RK)/(RL). 1 Рассмотрим грань SAB. Точка R лежит на продолжении SB за S, точка M лежит на ребре AB, а по условию прямая RM пересекает ребро AS в точке N. Значит, отрезок RM пересекает сторону AS треугольника SAB в точке N, то есть N лежит между R и M. Поэтому RN<RM, и (RM)/(RN)>1. 2 Аналогично в грани SBC: точка R лежит на продолжении SB за S, точка L лежит на ребре BC, и прямая RL пересекает ребро SC в точке K. Следовательно, K лежит между R и L, значит RK<RL, и (RK)/(RL)<1. 3 Из (2) и (3) получаем, что равенство (1) невозможно. Следовательно, MK ot NL, а так как они компланарны, то MK и NL пересекаются. б) Применим теорему Менелая в треугольнике SBC для прямой RKL (точки Rin SB на продолжении за S, Kin SC, Lin BC): (BR)/(RS)*(SK)/(KC)*(CL)/(LB)=1. Так как K — середина SC, то (SK)/(KC)=1. По условию BL=3LC, значит (CL)/(LB)=(1)/(3). Тогда (BR)/(RS)* 1*(1)/(3)=1=>(BR)/(RS)=3. 4 Теперь теорема Менелая в треугольнике SAB для прямой RMN (Rin SB на продолжении за S, Min AB, Nin AS): (BR)/(RS)*(SN)/(NA)*(AM)/(MB)=1. Так как M — середина AB, то (AM)/(MB)=1. Подставляя (4), получаем 3*(SN)/(NA)* 1=1=>(SN)/(NA)=(1)/(3). Следовательно, AN:NS=3:1. Ответ: AN:NS=3:1

а) доказано б) 3:1