Задача №15172

В основании прямой призмы $ABC{A}_1{B}_1{C}_1$ лежит равнобедренный треугольник $ABC$ с основанием $AB\text{.}$ Точка $P$ делит ребро $AB$ в отношении $AP:PB=1:3\text{,}$ а точка $Q$ — середина ребра $A_1{C}_1\text{.}$ Через середину $M$ ребра $BC$ провели плоскость $\alpha \text{,}$ перпендикулярную отрезку $PQ\text{.}$

а) Докажите, что плоскость $\alpha$ параллельна ребру $AB\text{.}$
б) Найдите отношение, в котором плоскость $\alpha$ делит отрезок $PQ\text{,}$ считая от точки $P\text{,}$ если известно, что $AB=A{A}_1\text{,}$ $AB:BC=2:5\text{.}$

а) Введём векторы: пусть $\overrightarrow{AB}=\vec{a}\text{,}$ $\overrightarrow{AC}=\vec{b}\text{,}$ $\overrightarrow{A{A}_1}=\vec{c}\text{.}$ Поскольку призма прямая, $\vec{c}\perp \vec{a}$ и $\vec{c}\perp \vec{b}\text{,}$ так как $\vec{a}$ и $\vec{b}$ лежат в плоскости основания.

Из условия $AP:PB=1:3\text{,}$ поэтому $\overrightarrow{AP}=\frac{1}{4}\vec{a}\text{.}$

$Q$ — середина $A_1{C}_1\text{,}$ поэтому $\overrightarrow{AQ}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}\text{.}$

Следовательно, $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AQ}-\overrightarrow{AP}=\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{a}\text{.}$

Вычислим скалярное произведение $\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{a}\text{:}$

$$\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{a}=\left(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{a}\right)\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}\vec{b}\cdot \vec{a}+\vec{c}\cdot \vec{a}-\frac{1}{4}\vec{a}\cdot \vec{a}.$$

Так как $\vec{c}\perp \vec{a}\text{,}$ то $\vec{c}\cdot \vec{a}=0\text{.}$

Из условия $AB:BC=2:5$ и $AB=A{A}_1\text{,}$ пусть $AB=2k\text{,}$ тогда $BC=5k$ и $A{A}_1=2k\text{.}$ В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AB\text{,}$ $AC=BC=5k\text{.}$ По теореме косинусов в треугольнике $ABC\text{:}$

$$B{C}^2=A{B}^2+A{C}^2-2\cdot AB\cdot AC\cdot \cos \angle BAC.$$

Подставляя значения: $(5k{)}^2=(2k{)}^2+(5k{)}^2-2\cdot 2k\cdot 5k\cdot \cos \angle BAC\text{,}$ откуда $\cos \angle BAC=\frac{1}{5}\text{.}$

Тогда $\vec{a}\cdot \vec{a}=|\vec{a}{|}^2=(2k{)}^2=4k^2\text{,}$ $\vec{b}\cdot \vec{b}=(5k{)}^2=25k^2\text{,}$ и $\vec{a}\cdot \vec{b}=|\vec{a}||\vec{b}|\cos \angle BAC=2k\cdot 5k\cdot \frac{1}{5}=2k^2\text{.}$

Следовательно,

$$\overrightarrow{PQ}\cdot \vec{a}=\frac{1}{2}\cdot 2k^2+0-\frac{1}{4}\cdot 4k^2=k^2-k^2=0.$$

Значит, $PQ\perp AB\text{.}$ Плоскость $\alpha$ перпендикулярна $PQ$ и проходит через $M\text{,}$ а так как $AB$ перпендикулярна $PQ$ и не лежит в $\alpha$ (точка $M$ не на $AB$), то $AB\parallel \alpha \text{.}$

б) Пусть плоскость $\alpha$ пересекает отрезок $PQ$ в точке $K\text{.}$ Так как $\alpha$ перпендикулярна $PQ\text{,}$ для точки $K$ выполняется $\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{PQ}=0\text{.}$

Введём параметр $t$ такой, что $\overrightarrow{PK}=t\overrightarrow{PQ}\text{,}$ где $0<t<1\text{.}$ Тогда $K$ делит $PQ$ в отношении $PK:KQ=t:(1-t)\text{.}$

Выразим векторы:

$\overrightarrow{M}=\frac{1}{2}(\vec{a}+\vec{b})$ (так как $M$ — середина $BC$),

$\overrightarrow{K}=\overrightarrow{P}+t\overrightarrow{PQ}=\frac{1}{4}\vec{a}+t\left(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{a}\right)=\frac{1-t}{4}\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}+t\vec{c}\text{.}$

Тогда

$$\overrightarrow{MK}=\overrightarrow{K}-\overrightarrow{M}=\left(\frac{1-t}{4}\vec{a}+\frac{t}{2}\vec{b}+t\vec{c}\right)-\left(\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}\right)=-\frac{1+t}{4}\vec{a}+\frac{t-1}{2}\vec{b}+t\vec{c}.$$

Теперь вычислим $\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{PQ}\text{:}$

$$\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{PQ}=\left(-\frac{1+t}{4}\vec{a}+\frac{t-1}{2}\vec{b}+t\vec{c}\right)\cdot \left(\frac{1}{2}\vec{b}+\vec{c}-\frac{1}{4}\vec{a}\right).$$

Используя скалярные произведения, найденные выше ($\vec{a}\cdot \vec{a}=4k^2\text{,}$ $\vec{b}\cdot \vec{b}=25k^2\text{,}$ $\vec{a}\cdot \vec{b}=2k^2\text{,}$ $\vec{a}\cdot \vec{c}=\vec{b}\cdot \vec{c}=0\text{,}$ $\vec{c}\cdot \vec{c}=4k^2$), получаем:

$$\overrightarrow{MK}\cdot \overrightarrow{PQ}=6k^2(t-1)+4k^{2}t=10k^{2}t-6k^2.$$

Приравнивая к нулю: $10k^{2}t-6k^2=0\text{,}$ откуда $t=\frac{3}{5}\text{.}$

Следовательно, $PK:KQ=t:(1-t)=\frac{3}{5}:\frac{2}{5}=3:2\text{.}$

Ответ:

б) $3:2$