В основании прямой призмы ABC A_1 B_1 C_1 лежит равнобедренный треугольник ABC с основанием AB . Точка P делит ребро AB в отношении AP : PB = 1 : 3 , а точка Q — середина ребра A_1 C_1 . Через середину M ребра BC провели плоскость alpha , перпендикулярную отрезку PQ . а) Докажите, что плоскость alpha параллельна ребру AB . б) Найдите отношение, в котором плоскость alpha делит отрезок PQ , считая от точки P , если известно, что AB = AA_1 , AB : BC = 2 : 5 .
а) Введём векторы: пусть AB = a , AC = b , AA_1 = c . Поскольку призма прямая, c a и c b , так как a и b лежат в плоскости основания. Из условия AP : PB = 1 : 3 , поэтому AP = (1)/(4)a . Q — середина A_1 C_1 , поэтому AQ = (1)/(2)b + c . Следовательно, PQ = AQ - AP = (1)/(2)b + c - (1)/(4)a . Вычислим скалярное произведение PQ * a : PQ * a = ( (1)/(2)b + c - (1)/(4)a ) * a = (1)/(2) b * a + c * a - (1)/(4) a * a. Так как c a , то c * a = 0 . Из условия AB : BC = 2 : 5 и AB = AA_1 , пусть AB = 2k , тогда BC = 5k и AA_1 = 2k . В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AB , AC = BC = 5k . По теореме косинусов в треугольнике ABC : BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 * AB * AC * cos BAC. Подставляя значения: (5k)^2 = (2k)^2 + (5k)^2 - 2 * 2k * 5k * cos BAC , откуда cos BAC = (1)/(5) . Тогда a * a = |a|^2 = (2k)^2 = 4k^2 , b * b = (5k)^2 = 25k^2 , и a * b = |a| |b| cos BAC = 2k * 5k * (1)/(5) = 2k^2 . Следовательно, PQ * a = (1)/(2) * 2k^2 + 0 - (1)/(4) * 4k^2 = k^2 - k^2 = 0. Значит, PQ AB . Плоскость alpha перпендикулярна PQ и проходит через M , а так как AB перпендикулярна PQ и не лежит в alpha (точка M не на AB ), то AB alpha . б) Пусть плоскость alpha пересекает отрезок PQ в точке K . Так как alpha перпендикулярна PQ , для точки K выполняется MK * PQ = 0 . Введём параметр t такой, что PK = tPQ , где 0 < t < 1 . Тогда K делит PQ в отношении PK : KQ = t : (1-t) . Выразим векторы: M = (1)/(2)(a + b) (так как M — середина BC ), K = P + tPQ = (1)/(4)a + t( (1)/(2)b + c - (1)/(4)a) = (1-t)/(4)a + (t)/(2)b + tc . Тогда MK = K - M = ( (1-t)/(4)a + (t)/(2)b + tc ) - ( (1)/(2)a + (1)/(2)b ) = -(1+t)/(4)a + (t-1)/(2)b + tc. Теперь вычислим MK * PQ : MK * PQ = ( -(1+t)/(4)a + (t-1)/(2)b + tc ) * ( (1)/(2)b + c - (1)/(4)a ). Используя скалярные произведения, найденные выше ( a * a = 4k^2 , b * b = 25k^2 , a * b = 2k^2 , a * c = b * c = 0 , c * c = 4k^2 ), получаем: MK * PQ = 6k^2 (t - 1) + 4k^2 t = 10k^2 t - 6k^2. Приравнивая к нулю: 10k^2 t - 6k^2 = 0 , откуда t = (3)/(5) . Следовательно, PK : KQ = t : (1-t) = (3)/(5) : (2)/(5) = 3:2 . Ответ: б) 3 : 2
а) доказано
б) 3:2