Задача №15171

В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки $A$ и $B\text{,}$ а на окружности другого основания — точки $B_1$ и $C_1\text{,}$ причём $B{B}_1$ — образующая цилиндра, а отрезок $A{C}_1$ пересекает ось цилиндра.

а) Докажите, что угол $AB{C}_1$ прямой.

б) Найдите объём цилиндра, если $AB=7\text{,}$ $B{B}_1=24\text{,}$ $B_1{C}_1=10\text{.}$

а) Пусть $O$ и $O_1$ — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, $O{O}_1$ — его ось. Проведём плоскость $\alpha$ через ось $O{O}_1$ и отрезок $A{C}_1\text{.}$ Она существует, так как $A{C}_1$ пересекает ось.

Обозначим через $C$ точку пересечения нижнего основания с образующей, проходящей через $C_1\text{,}$ то есть $C{C}_1$ — образующая цилиндра. Так как $C_1\in \alpha$ и $\alpha$ содержит направление оси (а значит, направление всех образующих), то прямая $C{C}_1$ лежит в плоскости $\alpha \text{,}$ следовательно, $C\in \alpha \text{.}$

Прямая $\alpha \cap (ABC)$ (пересечение плоскости $\alpha$ с плоскостью нижнего основания) проходит через центр $O$ и точку $A\text{,}$ поэтому пересекает окружность основания в точках $A$ и $C\text{.}$ Значит, $AC$ — диаметр нижнего основания.

Тогда в треугольнике $ABC\text{,}$ вписанном в окружность с диаметром $AC\text{,}$ имеем $\angle ABC=90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим плоскость $\beta =(BC{C}_1)\text{.}$ Так как $C{C}_1$ — образующая, то $C{C}_1\parallel O{O}_1\text{,}$ то есть плоскость $\beta$ содержит направление оси. Через точку $B$ существует единственная прямая, параллельная оси, — это образующая $B{B}_1\text{.}$ Следовательно, $B{B}_1\subset \beta \text{.}$

Прямая $B{B}_1\perp$ плоскости основания, поэтому $B{B}_1\perp AB$ (они пересекаются в точке $B$). Также $AB\perp BC$ (так как $\angle ABC=90^{\circ }$). Прямые $BC$ и $B{B}_1$ лежат в плоскости $\beta$ и пересекаются в точке $B\text{,}$ значит, $AB\perp \beta \text{.}$ Тогда $AB\perp B{C}_1$ (так как $B{C}_1\subset \beta$). Следовательно, $\angle AB{C}_1=90^{\circ }\text{.}$

б) Высота цилиндра $H=B{B}_1=24\text{.}$

Треугольник $B{B}_1{C}_1$ прямоугольный при $B_1\text{,}$ так как $B{B}_1\perp$ плоскости верхнего основания, а $B_1{C}_1$ лежит в этой плоскости. Поэтому

$$B{C}_1=\sqrt{B{B}_1^2+B_1{C}_1^2}=\sqrt{24^2+10^2}=26.$$

Из пункта а) $△AB{C}_1$ прямоугольный при $B\text{,}$ значит

$$A{C}_1^2=A{B}^2+B{C}_1^2=7^2+26^2=725.$$

При построении точки $C$ имеем, что $C$ и $A$ — концы диаметра нижнего основания, то есть $AC=2R\text{,}$ а $C{C}_1=H=24$ и $C{C}_1\perp$ плоскости основания, значит $C{C}_1\perp AC\text{.}$ Тогда в прямоугольном треугольнике $AC{C}_1\text{:}$

$$A{C}_1^2=A{C}^2+C{C}_1^2=(2R{)}^2+24^2=4R^2+576.$$

Отсюда

$$4R^2+576=725\Rightarrow 4R^2=149\Rightarrow R^2=\frac{149}{4}.$$

Объём цилиндра:

$$V=\pi R^{2}H=\pi \cdot \frac{149}{4}\cdot 24=894\pi .$$