В цилиндре образующая перпендикулярна плоскости основания. На окружности одного из оснований цилиндра выбраны точки A и B, а на окружности другого основания — точки B_1 и C_1, причём BB_1 — образующая цилиндра, а отрезок AC_1 пересекает ось цилиндра. а) Докажите, что угол ABC_1 прямой. б) Найдите объём цилиндра, если AB = 7, BB_1 = 24, B_1C_1 = 10.

а) Пусть O и O_1 — центры нижнего и верхнего оснований цилиндра, OO_1 — его ось. Проведём плоскость alpha через ось OO_1 и отрезок AC_1. Она существует, так как AC_1 пересекает ось. Обозначим через C точку пересечения нижнего основания с образующей, проходящей через C_1, то есть CC_1 — образующая цилиндра. Так как C_1 и alpha содержит направление оси (а значит, направление всех образующих), то прямая CC_1 лежит в плоскости alpha, следовательно, C. Прямая alphan (ABC) (пересечение плоскости alpha с плоскостью нижнего основания) проходит через центр O и точку A, поэтому пересекает окружность основания в точках A и C. Значит, AC — диаметр нижнего основания. Тогда в треугольнике ABC, вписанном в окружность с диаметром AC, имеем ABC = 90^. Рассмотрим плоскость beta = (BCC_1). Так как CC_1 — образующая, то CC_1 OO_1, то есть плоскость beta содержит направление оси. Через точку B существует единственная прямая, параллельная оси, — это образующая BB_1. Следовательно, BB_1cbeta. Прямая BB_1 плоскости основания, поэтому BB_1 AB (они пересекаются в точке B). Также AB BC (так как ABC=90^). Прямые BC и BB_1 лежат в плоскости beta и пересекаются в точке B, значит, AB. Тогда AB BC_1 (так как BC_1cbeta). Следовательно, ABC_1 = 90^. б) Высота цилиндра H = BB_1 = 24. Треугольник BB_1C_1 прямоугольный при B_1, так как BB_1 плоскости верхнего основания, а B_1C_1 лежит в этой плоскости. Поэтому BC_1 = sqrt(BB_1^2 + B_1C_1^2) = sqrt(24^2 + 10^2) = 26. Из пункта а) ABC_1 прямоугольный при B, значит AC_1^2 = AB^2 + BC_1^2 = 7^2 + 26^2 = 725. При построении точки C имеем, что C и A — концы диаметра нижнего основания, то есть AC=2R, а CC_1=H=24 и CC_1 плоскости основания, значит CC_1 AC. Тогда в прямоугольном треугольнике ACC_1: AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = (2R)^2 + 24^2 = 4R^2 + 576. Отсюда 4R^2 + 576 = 725=> 4R^2 = 149=> R^2 = (149)/(4). Объём цилиндра: V = pi R^2 H = pi*(149)/(4)* 24 = 894pi.

а) \( 90^\circ \) б) \( 894\pi \)